微積分詩(李尚志教授著釋) | 傾聽李尚志教授的聲音 NO.11 |優才名師講壇系列

春天裡  在北京相聚  2017年3月17日在李教授家 師母攝影

李尚志，北京航空航天大學數學與系統科學學院學術委員會主任，教授，博士生導師，是中國自己培養的首批18名博士之一。繼昨日本平臺登載李尚志教授寫的「微積分詩」的四首之後，非常意外、驚喜地收到了李教授關於這四首做的注釋，今結合這四首詩重新刊登。

走近數學名師李尚志教授 |走近優才| 向李老師學數學No.1

各種函數複雜紛紜，猶如無邊苦海，何處是岸？一次函數最簡單。把複雜函數f(x)在任一點c附近換成誤差最小的一次函數y=f(c)+k(x-c)，使誤差是自變量增量dx=x-c的高階無窮小，一次項dy= kdx就是微分，係數k=f'(c)刻畫了f在c附近的變化速度，稱為導數。金庸武俠小說中段譽學的第一個功夫叫「凌波微步」，就是「打不贏就跑」，跑到打得贏的地方再打。把難以處理的函數f在每一點附近變成最簡單的一次函數來處理，也是凌波微步。「微步」是在波浪上小心翼翼走碎步，毛詞「閒庭信步」更瀟灑，所以我說「凌波能信步」。將非一次函數變成一次，這是微積分最重要的兵法。漫天休問價：各種函數太難處理，代價高昂。就地可還錢：變成一次，最容易處理。但有時用一次代替誤差太大，例如將x=1代入近似公式arctanx=x計算圓周率pi,得到pi/4=arctan1=1,pi=4,誤差太大。就像買東西就地還錢賣家不幹，買家就漲一點。一次不夠漲成二次，二次不夠漲成三次。用多項式代替函數，次數越高誤差越小。例如arctan x=x-x^3/3+x^5/5. 多項式f(x)只用x的加減乘就能算出，所以說「我有乘除加減」。提高多項式次數可以達到任意精確度，從地面（一次）開始任意逼近天上那個函數分，翱翔天地間。不過，將x=1代入arctanx=x-x^3/3+ x^5/5-...計算pi收斂仍然太慢，可拆開為pi/4=arctan1/2+arctan1/3= 4arctan1/5-arctan1/239,將x=1/2,1/3或1/5,1/239分別代入arctanx的泰勒展開式，收斂就快y=f(x)在區間[a,b]上的定積分S就是區間上的函數曲線在x軸上方圍成的有向面積（x軸下方的面積為負）。如果f是常數，就是矩形面積，底乘高。曲線一帆風順，同一高度。然而這種情況少之又少。所以說「一帆難遇風順」，正常情況都是「一路高低不平」。怎麼辦？雖然總體是高低不平，正常情況（連續函數）很短的時間（一分一秒）內起伏不大，來不及大起大落，平平淡淡，可以近似當成常函數，當成矩形求面積，底乘高。將大的區間[a,b]分割成小的區間（分秒），分別按照矩形算面積再加起來（編織），就得到大起大落（百味人生）區間[a,b]上的總面積。平平淡淡分秒，編織百味人生，說的就是定積分分割求和的這個過程。當然，每一段分得越小，誤差就越小。無限細分，得到的極限就是面積（定積分）的精確值。這是數學，也是人生哲理。不能指望人生一帆風順，總要遇到風浪。之所以祝願「一帆風順」，就是因為很難得到。也不要指望突然哪一秒鐘天上掉下個大餡餅。每分每秒以平常心做平常事，積矽步行千裡，燦爛輝煌的豐功偉績，豐富多彩的百味人生，都是一分一秒的平常努力、一步一個平常腳印積累起來的。人生就是一場積分，積分的多少正負，全都是由f(x)在每一點的值煉成的。由下而上登天去度量天的高度，太困難。反過來，請銀河從上到下為我們度量吧。銀河飛流直下有幾萬裡，由下而上的高度也就是多少萬裡。量出了由上而下幾裡路的地方是王母宴蟠桃之處，就知道了由下而上參加蟠桃宴在什麼位置。求積分也是同樣道理：已知速度求路程是求定積分，猶如登天一樣困難。反過來由路程求速度是求導數，就好比從上到下，比較容易。因此我們反過來求一個函數F(x)使它的導數等於已知的速度f(x)，稱為f的原函數。F不一定是路程，但一定是位置，末位置減初位置F(b)-F(a)一定是路程，就是所求的定積分。

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走近李老師，在春天的北京，傾聽李老師的聲音：

 走近數學名師李尚志教授No.1| 走近優才

李尚志，北京航空航天大學教授，博士生導師。

我國自己培養的首批18名博士之一。

2003年首屆國家級教學名師獎100名獲獎者之一。

2016年入選國家萬人計劃教學名師。

1985年獲中國科學院科技成果獎二等獎。

1997,2001,2009年三次主持項目獲國家級教學成果獎二等獎。

主持三門國家級精品課程。

主講教育部精品視頻公開課「數學大觀」，中國大學MOOC課「微積分啟蒙」，「線性代數啟蒙」。

曾任中國科學技術大學數學系主任，

北京航空航天大學理學院院長，

國務院學位委員會數學學科評議組成員，

教育部數學與統計學教學指導委員會委員、

數學基礎課程教學指導分委員會副主任，

中國數學會理事，中國工業與應用數學學會理事。

現任中國高等教育學會理事，教育數學專業委員會理事長。

照片說明：1.與導師曾肯成在首批博士答辯會上；

2.首批博士證書，編號70001是中科大1號；

3.人民大會堂參加博士授予大會入場卷：1區2排1號，1排是導師；

4.趙紫陽接見首批博士；

5. 2011年首批博士重聚；

6.數學大觀教材；

7.數學的神韻；

8.歐陽夏丹對話李尚志； 

9.美國大提頓公園；

10.西藏納木錯湖。

 

   附：更詳盡的部分內容：

   李尚志教授，男，1947年6月29日出生於四川省內江市。

   1965年9月-1970年7月在中國科學技術大學數學系讀本科至畢業。

   1981年12月在中國科學技術大學數學系基礎數學專業研究生畢業並留校任教,1982年5月獲理學博士學位,是我國自己培養的首批18名博士之一。

   1981年12月—2006年1月在中國科技大學數學系任教。2004年9月至今在北京航空航天大學任教。

   曾任中國科技大學數學系主任; 北京航空航天大學理學院院長、數學與系統科學學院院長。

   現任教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會委員、數學基礎課程教學分委員會副主任。

   現任中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長。

   曾任國務院學位委員會學科評議組成員; 中國數學會理事; 安徽省數學會秘書長; 中國工業與應用數學學會理事。

   2003年首屆國家級教學名師獎100名獲獎者之一。

   主持科研項目《關於李型單群子群體系的研究》1985年獲中國科學院科技成果獎二等獎。

   三次主持項目獲國家級教學成果獎二等獎：《數學建模與數學教學改革》（1997），《數學實驗課程建設》（2001），《數學建模思想融入基礎課教學》（2009）。

   1991年受國家教委表彰為「做出突出貢獻的中國博士學位獲得者」。1999年獲寶鋼教育基金會優秀教師獎特等獎。

   主持三門國家級精品課程：《數學實驗》（2003）、《線性代數（數學專業）》（2004）、《線性代數（非數學專業）》（2006）。

   主編教材及科普讀物：

   《數學實驗》，高教出版社，1999第一版，2003第二版。教育部面向21世紀課程教材，國家十五規劃教材。2002年獲教育部優秀教材獎二等獎。

   《線性代數(數學專業)》，高教出版社，2006，國家十五規劃教材。

   《線性代數》，高教出版社，2010（即將出版），國家十一五規劃教材。

   《數學的神韻》，科學出版社，2010。

         

 附：十八博士今何在 

李尚志

中國學位與研究生教育信息網

http://www.cdgdc.edu.cn/xwyyjsjyxx/xw30/jzssn/sbbsjhz/268678.shtml 

 

　　李尚志教授1947年6月29日出生於四川內江市。1981年12月在中國科學技術大學數學系基礎數學專業研究生畢業, 1982年5月獲理學博士學位。1981年12至2006年1月在中國科技大學數學系任教。1998.11--2001.11擔任中國科技大學數學系主任。1989 年評為教授。1992年任博士生導師。1992.10起享受政府特殊津貼。1983--1990擔任中華全國青年聯合會第六屆委員會委員。2003— 2008擔任國務院學位委員會數學學科評議組成員。2003年獲得首屆國家級教學名師獎。2004年9月至今在北京航空航天大學任教，2004.9—2008.12擔任理學院院長，2008.12—2009.5擔任數學與系統科學學院院長，現任數學與系統科學學院學術委員會主任、教學委員會主任。2001年至今連續兩屆擔任教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會委員、數學基礎課程教學分委員會副主任。

　　自1980年以來一直從事代數學領域、特別是群論方向的科學研究。在典型群的子群結構的研究中取得了受到國際同行矚目的系統的成果,在國內外第一流學術刊物上發表論文50餘篇，其中在J.Algebra 等國外重要學術刊物發表11篇。主持的科研項目「關於李型單群子群體系的研究」於1985年獲中國科學院科技成果獎二等獎。1991年受國家教委表彰為「做出突出貢獻的中國博士學位獲得者」。1998年由上海科學技術出版社在《現代數學叢書》中出版的科研專著《典型群的子群結構》，集中了多年來在典型群的子群結構方面的研究成果。

　　從1982年在大學任教至今，始終堅持在教學第一線教書育人。在培養研究生的同時，每學期都為本科生講授基礎課。1999年獲「寶鋼教育基金優秀教師特等獎」。三次主持項目獲得國家級教學成果獎二等獎，獲獎項目分別為「數學建模和數學教學改革」(1997)、「數學實驗課程建設」(2001)、「數學建模思想融入基礎課建設」(2009)。主持的課程「數學實驗」、「線性代數(數學專業)」、「線性代數(非數學專業)」分別於2003、2004、2006年獲批國家精品課程，是全國高校中主持國家精品課程最多的教師。帶領的「數學基礎課程教學團隊」是2007年批准的首批100個國家級教學團隊之一。李尚志教授不但在本校教學中深受學生歡迎，至今已應邀到157所高校講學，六次到教育部高教司主辦的國家級精品課程網絡培訓班講課，深受全國高校師生歡迎，產生了很大影響。

　　李尚志還擔任了湘教版高中新課程標準數學教材執行主編，撰寫了其中最關鍵的重要內容，該教材受到教育部全國中小學教材審定委員會的高度評價，並且是新中國成立60年來成功進入臺灣的第一套大陸中學教材。

相關名詞解釋：

微積分 

微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。

   美麗的牛頓-萊布尼茨公式

內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

     中文名 微積分 外文名 Calculus 所屬學科 數學,物理 研究內容 切線、函數、極限、積分、微分 中心思想 切線、函數 學科特點 理論嚴密、應用廣泛 微分發明艾薩克·牛頓 積分發明艾薩克·牛頓 微、積分關係 互為逆運算 第二發明者萊布尼茨。

3、李尚志教授的家鄉內江

內江市，東漢置縣，曾名漢安，中江。沱江北段叫牛鞞水，為北江；南段為枝江，稱南江，此為中江。隋初，為避太祖楊忠之諱，改為內江。1951年設為內江市。一說因取內水（即沱江）為名，蓋市縣位沱江西岸，江至此，曲流成弧，有如半島，城居其內故名。 內江市(又名甜城)位於天府之國的東南部，坐落在美麗富饒的沱江之濱。內江市位於四川東大門，東連重慶，西接成都、資陽，南扼自貢、宜賓、瀘州，北通遂寧、南充，成渝鐵路、內昆鐵路在這裡接軌，成渝高速公路、內宜高速公路在這裡匯合，公路密度高於全國、全省平均水平，通車裡程達3149公裡，是川東南乃至西南各省交通的重要交匯點，有「川中樞紐」、「川南咽喉」之稱。內江市是川東重鎮、四川省規劃建設的8個大城市之一。地理位置東經104°15′--105°26′，北緯29°11′--30°2′。現轄市中區、東興區、資中縣、隆昌縣、威遠縣，共3縣2區、87個鎮、24個鄉。 據史料記載，內江市（含1998年2月新置的資陽地區）是一個開發早，歷史悠久之地。歷史可追溯至遠古舊石器時代的晚期，就其歷史演變進程到民國止，大體可分為以下７個時期：遠古時期內江市地處四川盆地中部丘陵區的沱江中遊，土地**，經濟開發較早。據1951年出土的「資陽人」頭骨化石和其他一些石器，陶片及植物標本等文物證實，約在距今3.5萬年至4萬年前,今內江市所在沱江流域即有古人類生息繁衍，並逐步形成了原始部落群體。故有今資陽、資中地區為堯時資國封地之說華夏歷史進入到周王朝，今內江市已分屬於古蜀,巴兩國，由於蜀國與周王室臣屬關係的確立，也推動了蜀中今沱江流域地區人民同周王朝的聯繫。春秋時期出生於今沱江之濱王二溪的孔子師、周大夫萇弘便是明證。簡陽市1975年─1982年間數次出土的周代銅壘、戈、矛、劍等器具和銅錢，表明了該地在春秋戰國時代，已是古蜀國的軍事重鎮了。秦昭襄王六年（公元前301年），秦平定蜀侯叛亂，同時派張儀東滅巴國，分別改置蜀郡、巴郡。今內江市隨之納入秦國版圖，並成為巴、蜀兩郡往來聯繫的通道。

編審：王利群 張彥傑  

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