2020中考真題精選之二：切線性質與三角函數，數形結合是難點

大家好，今天是2020年8月10日星期一，數學世界將繼續為大家分享2020年各地的數學中考真題，今天我們來看一道2020年武漢數學中考題，希望能夠對大家的學習有一些幫助！如果你是來到這裡的新朋友，請翻看以前的文章，希望能夠大家能夠喜歡。

例題：（2020·武漢中考數學題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC於點D，AE與過點D的切線互相垂直，垂足為E．

（1）求證：AD平分∠BAE；

（2）若CD=DE，求sin∠BAC的值．

此題有兩個小題，一般來說第一個小題比較簡單，解決第二小題時可以用到前面一題的結論。我們在做這道題時，要有效利用題中的已知條件，推出解決問題所需要的條件，再針對具體問題進行分析，並結合要求的結論進行思考。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：（1）圓的切線垂直於經過切點的半徑，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，得出垂直關係。題中給出了圓的切線，所以連過切點的半徑，連接OD（如圖），根據切線的性質得到OD⊥DE，則結合條件可判斷OD∥AE，從而得到∠1=∠ODA，然後利用半徑可以得出∠2=∠ODA，於是得到∠1=∠2，即AD平分∠BAE。

（2）連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再證明∠2=∠3，利用三角函數的定義得到sin∠1=DE/AD，sin∠3=DC/BC，利用等量代換則得出AD=BC。再通過數形結合，設CD=x，BC=AD=y，可以證明△CDB∽△CBA，利用相似比得到比例式x：y=y：（x+y），然後求出x、y的關係即可得到sin∠BAC的值。下面，我們按照以上思路解答此題吧！

解答：（1）證明：連接OD，（如圖）

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∵DE⊥AE，

∴OD∥AE，

∴∠1=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠2=∠ODA，

∴∠1=∠2，

∴AD平分∠BAE；

（2）解：連接BD，（如圖）

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠2+∠ABD=90°，∠3+∠ABD=90°，

∴∠2=∠3，

∵sin∠1=DE/AD，sin∠3=DC/BC，

且DE=DC，∠1=∠2=∠3，

∴AD=BC，

設CD=x，BC=AD=y，

∵∠DCB=∠BCA，∠3=∠2，

∴△CDB∽△CBA，

∴CD：CB=CB：CA，即x：y=y：（x+y），

整理得x^2+xy-y^2=0，

解得x=（-1+√5）y/2

或x=（-1-√5）y/2（捨去），

∴sin∠BAC=sin∠3

=DC/BC=（√5-1）/2，

即sin∠BAC的值為（√5-1）/2.

（完畢）

這道題考查的知識點比較多，包括切線的性質、圓周角定理和解直角三角形等，通過數形結合求出相關線段的數量關係是此題的難點。另外，能夠正確作出輔助線，並能夠熟練運用性質定理是解題的關鍵。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！