用直觀的方法理解抽象的概念——線性相關（線性代數）

在線性代數的課程中，你會被各種定義轟炸。線性代數教科書簡直就是一本充滿各種術語的字典，這些術語晦澀難懂，難以理解。學生們在考試前，只有幾個月的時間來理解特徵值，特徵向量，厄米特矩等。

令人沮喪的是，老師通常不會在課堂上教矩陣的空間感、或者解釋方程的深刻含義。相反，他們只是讓你死記硬背解題方法，最終通過錯誤學習方法得到正確的答案，線性代數最終竟然被說成了是「文科」，背就可以了。線性代數實際上是數學的一個非常有趣的分支，但是當我們漫無目的地盯著矩陣看幾個小時時，我們並不能理解它。

所以，今天我將帶大家直觀地理解線性代數中幾個重要的概念：

1. 線性相關、線性無關
2. 擴張空間
3. 基

我將用3篇文章分別深入探討這三個概念。這篇文章用圖案的類比，直觀地解釋了線性相關。擴張空間和基將在接下來的兩篇文章中分析。

我假設你們熟悉向量的表示、向量的相加以及線性組合的概念。

色彩類比：線性相關

假設你是一個畫家。如果我給你紅、藍、紫三種顏料，有沒有可能把其中兩種顏色混合在一起得到第三種顏色？答案顯然是肯定的：紅色和藍色混合就會變成紫色。我們可以說這三種顏色是相互依賴的（線性相關）。

• 紅+藍=紫

如果我很吝嗇，想在油漆上省錢，我可以只買紅色和藍色的顏料，而不是紅色，藍色，和紫色，因為我可以混合紅色和藍色的油漆得到紫色的油漆。所以，你可能會說「相互依賴」的結果是至少有一種顏色是不必要的（在這個例子中是紫色）。

每種顏色的比例也可以是不同的，而不僅僅是1:1的比例。如果我給你紅、白和淺粉色三種顏料，你可能需要1份紅色和16份白色才能得到那個特定的粉色。這些顏色仍然是相互依賴的，即使紅色和白色的顏料組合不是五五開。

• 1分紅+ 16分白=非常淺的粉紅色

類似於色彩組合，向量的線性相關來自於組合向量來得到其他向量。假設有幾個二維向量：v_1、v_2、w。這些向量繪製如下圖。問：有沒有一種方法組合v_1和v_向量來得到w向量？

在這種情況下，如果把v_1和v_2乘以2,然後把它們相加就得到了向量w。

那麼我們稱w是v_1和v_2的線性組合，這個向量序列是線性相關的。

線性無關

回到色彩組合，假設我給了你紅，藍，黃3種顏料。這些顏色是有關係的嗎？有沒有辦法把兩種顏色混合在一起得到第三種顏色？沒有。再多的紅色和黃色也不會產生藍色，而只是得到不同深淺的橙色。同樣，不管怎麼把紅色和藍色混合在一起，也永遠得不到黃色。所以我們稱這三種顏色相互獨立（線性無關）。

• 紅+藍無法組合成黃色，黃+藍無法組合成紅色，所以它們是相互獨立的。

這與向量的線性無關相似但有點棘手，所以讓我們從這開始：有沒有辦法組合v_1（0,1）和v_2（1,0）得到w（2,2）？本質上這個問題相當於解下面的方程，使等式成立：

答案是肯定的，對於任意倍數的w，例如（4,4），我可以取4 (v_1)+ 4 (v_2)來得到2w。在這種情況下c₁= 4、c₂= 4、c3 = 2。你可能已經注意到下面的等式也是成立的：

所有項都乘以0的「解」叫做平凡解。不管向量是線性相關的還是線性無關的，平凡解總是有效的，所以在這個意義上，平凡解沒有用。

然而，另外兩個解我們已經驗證過，4 (v_1)+ 4 (v_2)= 2 (w)和2 (v_1)+ 2 (v_2)= w，這就意味著他們不是平凡解。

如果我有一些向量序列，比如(v_1，v_2，v_3，v_4，v_5)，我想把這些向量組合得到另一個向量的倍數：

如果這些向量對其中一個方程有非平凡解，那麼這些向量是線性相關的。但是，如果沒有一個非平凡解，這個序列是線性無關的。平凡解是與獨立性無關的解。

我們以前的例子中，向量(v_1，v_2，w)是線性相關的。另一方面(v_1，v_2)本身是線性無關的，因為我們無法用v_1表示v_2或者用v_2表示v_1。

用色彩組合類比線性相關問題有點不準確，這裡需要解釋一下，紅色+藍色就是紫色，但是紫色+藍色不是紅色。但是在線性相關的向量中，任何向量都可以表示成其他向量的組合。

我已經證明w是v_1和v_2的組合，但是v_1也是v_2和w的組合，只是 不太明顯：

解決該問題的一種方法是，想像從混合顏料中去除一定量顏料。然後我們可以將紫色表示為1（紅色）+ 1（藍色），然後將藍色表示為1（紫色）-1（紅色）。這意味著拿紫色塗料，除去紅色塗料的一部分，留下藍色。

總結

• 給定方程c_1v_1+ c_2v_2+…+ c_nv_n = 0v，其中所有v為向量，0v為零向量，c為標量，然後將所有c都設置為零稱為平凡解。
• 如果存在對方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解（這實際上意味著無窮解），那麼一組向量與線性相關。
• 如果不存在方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解，則這組向量是線性無關的。

線性相關性很重要的一個原因是，如果兩個（或多個）向量線性相關，則其中必有一個是不必要的。這就像從調色板中刪除紫色，因為已經有紅色和藍色（他們可以生成紫色）。

雖然通常不會以這種方式解釋線性相關性和線性無關，但深入了解此概念很有幫助。它擴大了您對線性代數的理解範圍。這就像看一幅地平線的畫，有深紅的落日和墨黑的河流。你會驚訝於畫家在作畫時所用的成千上萬種顏色。或者，你可以注意到他們在整個過程中只使用紅、黃、藍。

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