教學研討| 4.1指數(第1課時)4.1.1 n次方根與分數指數冪(2019版新教材)

2021-02-25 陽光備課
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一、教材分析

教材截圖

（考慮到部分教師未有2019版課本，這裡對教材截個圖）

教材分析：

一、內容與內容解析

1.內容

   n次方根的定義及其性質，分數指數冪的定義，有理數指數冪的定義與運算性質．

2.內容解析

   教科書章引言一方面指出了章頭圖所蘊含的數學模型，另一方面還列舉了這些數學模型的其他背景實例，從而指出本章將類比冪函數的研究方法，學習指數函數、對數函數的概念、圖象和性質，並對這幾類基本初等函數的變化差異進行比較，以及運用它們解決一些實際問題．

   教科書章頭圖是良渚遺址．通過章引言，指出生物體死亡後，體內碳14的含量隨著時間的變化按一定的規律衰減，引出本章將要學習的指數函數．在實際應用中，往往是先通過技術手段測出死亡生物體內碳14的含量，然後根據指數函數建立生物體內碳14的含量與死亡時間的關係，並利用對數和對數函數推算生物死亡的大致時間，從而實現考古的目的．由於死亡生物體內碳14的含量隨時間連續變化，說明引進分數指數冪和無理數指數冪的必要性，並為指數函數的定義域是實數集提供了現實背景．

    研究函數必先掌握運算，而數及其運算是推動數學發展的源泉和動力之一，是數學的基石．指數冪運算和對數運算是兩類基本運算，對數運算與指數冪運算緊密相連，需要轉化成指數冪運算，因此，熟練掌握指數冪運算是本章的基礎．

    指數冪運算的本質是數的自乘，把整數指數冪運算推廣到有理數指數冪運算的本質就是使用新的運算符號表示根式運算和分式運算（負數指數冪運算），簡而言之就是從一個符號的規定再到另一個符號的規定.只要能夠準確進行兩種運算符號的轉化即可.而有理數指數冪這種數學運算符號表示的簡潔性、運算的便捷性都優於分式和根式，這一符號的產生具有其必然性.比如：a與b的算術平均數為，幾何平均數為，可理解為運算級的上升.事實上從16世紀比利時數學家斯蒂文嘗試用分數對應根式開始，歷經17世紀牛頓用有理數指數冪符號表示根式，直至18世紀歐拉才明確給出定義，這一表示法才被人們普遍接受和使用.指數冪運算的發展史充分說明基於數學語言的簡潔性、準確性和合理性，有理數指數冪運算符號的產生與完善是有其歷史必然性的.

    教科書在研究冪函數時把正方形場地的邊長c關於面積S的函數記作引出分數指數冪的表示法.數學中，引進一個新的概念或法則時，總希望它與已有的概念或法則相容，於是從根式的意義入手，將正整數指數冪轉化為被開方數的指數能被根指數整除的根式，推廣到被開方數的指數不能被根指數整除的根式，又為了希望整數指數冪的運算能與其相容，於是只規定了被開方數為正數的分數指數運算.事實上分數指數冪是根式的一種新的表示方法，其表示的簡潔性、運算的便捷性都優於根式．而負數為被開方數的分數指數冪是需要擴充到複數空間研究的，不能用根式解釋，故此時討論之類的問題也是沒有意義的.

因此本節課的教學重點是：根式與有理數指數冪的意義及運算性質.

二、目標與目標解析

1.教學目標

（1）經歷n次方根定義形成過程，理解根式的意義，掌握根式的性質．

（2）了解分數指數冪表示的合理性、簡潔性，掌握根式與分數指數冪間的互化.

（3）理解有理數指數冪意義，掌握其運算性質，並通過初步應用提升數學運算核心素養.

達成如上目標的標誌是：

（1）學生能從平方根、立方根的概念學習過程中，歸納出一個數的n次方根定義，並能結合具體的例子理解n次方根的含義，及在n為奇數和偶數時化簡的結果，特別是n為偶數時的情況.

（2）學生通過將正整數指數冪轉化為被開方數的指數能被根指數整除的根式，推廣到被開方數的指數不能被根指數整除的根式，再進一步分析這一運算法則規定的合理性，通過根式與分數指數冪的互化，理解分數指數冪的意義．

（3）學生能正確地完成根式及有理數指數冪的化簡運算.

三、問題診斷分析

雖然學生已經掌握了整數指數冪的概念及其運算性質，並在學習冪函數的過程中接觸過二次根式的分數指數冪的符號表示，但是由於n次方根及有理指數冪比較抽象，學生理解起來還是有困難．

    因此本節課教學難點是：理解根式及分數指數冪的定義，及有理數指數冪的運算性質.

    教科書是通過複習平方根、立方根的定義，然後類比出n次方根，歸納類比出n次方根的一般定義與性質. n次方根的性質實際上是平方根、立方根性質的推廣．教學時，可以用平方根、立方根、四次方根為基礎來加以說明，加深對這一性質的理解.分數指數是指數概念的又一次推廣，教學中應多舉實例讓學生理解分數指數冪的意義，明確分數指數冪是根式的一種新的寫法，並通過根式和分數指數冪的互化區分負數指數冪與分數指數冪的不同，鞏固、加深對有理數指數冪的理解.

更多：http://www.pep.com.cn/gzsx/xrjbgzsx/xrjgzwd/201911/t20191128_1947596.html

四、教學重點、難點

重點是：根式與有理數指數冪的意義及運算性質.

難點是：理解根式及分數指數冪的定義，及有理數指數冪的運算性質.

五、數學學科素養

1.數學抽象：n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念；

2.邏輯推理：分數指數冪和根式之間的互化；

3.數學運算：利用分數指數冪的運算性質化簡求值；

4.數學建模：通過與初中所學的知識進行類比，得出分數指數冪的概念，和指數冪的性質。

六、教學過程：見《研討素材二》


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