歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，今天我們繼續來說一說如何判定一個四邊形或一個平行四邊形是矩形。
【知識梳理】
1.從基礎圖形是四邊形的角度判定：
①四邊形+三個直角=矩形；
②四邊形+對角線相等且互相平分=矩形；
2.從基礎圖形是平行四邊形的角度判定：
①平行四邊形+一個直角=矩形；
②平行四邊形+對角線相等=矩形；
2.對不符合特殊四邊形的判定中，注意一種特殊圖形「箏形」（注意：AC與BD只垂直，並不一定平分）.
【典型例題】
例1.下列說法正確的是（）
A．對角線相等的四邊形是矩形
B．矩形的對角線相等且互相平分
C．對角線互相平分的四邊形是矩形
D．矩形的對角線互相垂直且平分
【解析】選項A、C有可能是箏形，選項D中，矩形的對角線相等且互相平分，選B
例2.命題「對角線相等的四邊形是矩形」是________ 命題（填「真」或「假」）
【解析】對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故是假命題.
例3.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB. 添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（ ）
A. AB=BE. B. BE⊥DC.
C. ∠ADB=90°. D. CE⊥DE.
【解析】由題易證DE//BC，且DE=BC，故四邊形DBCE是平行四邊形，選項A：AB=BE=DC，對角線相等的平行四邊形是矩形；選項C：當∠ADB=90°時∠BDE=90°，有一個直角的平行四邊形是矩形；選項D：CE⊥DE時∠CED=90°，有一個直角的平行四邊形是矩形；故選B，對角線垂直的平行四邊形是菱形。
例4.如圖，已知平行四邊形ABCD，各個內角的平分線相交於點E、F、G、H，連接EG、FH，猜想EG與FH的數量關係.
【思路分析】由平行四邊形鄰角互補及角平分線性質可分別得出∠HEF、∠EFG、∠BHC是直角，由有三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形EFGH是矩形，由矩形性質可得EG=FH；
【解題過程】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵AF、BH分別是角平分線，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴∠HEF=90°，同理可得∠EHG=90°，∠EFG=90°，∴四邊形EFGH是矩形，∴FH=EG.
例5.如圖，將ABCD的邊AB延長至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC於點O，連接BD．
（1）求證：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．
【思路分析】
（1）先由對邊平行且相等證四邊形BECD為平行四邊形，再由SSS證△ABD≌△BEC；
（2）由四邊形BECD為平行四邊形可得DE與BC互相平分，由∠BOD=2∠A及外角定理可得OB=OE，即BC=DE，由對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定；
【解題過程】
（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．
又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC．∴在△ABD與△BEC中，∵AB=BE，BD=EC，AD=BC，∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形．
例6.如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線於F，且AF＝BD，連接BF．
(1)求證：D是BC的中點；
(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，並證明你的結論．
【思路分析】
（1）由AAS證△EAF≌△EDC，可得AF=DC，由AF=BD，可得BD=DC，即D是BC的中點；
（2）由對邊平行且相等可得四邊形AFBD是平行四邊形，由有一個角的平行四邊形是矩形可判定；
【解題過程】
(1)證明：∵點E是AD的中點，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．∴△EAF≌△EDC．∴AF＝DC．∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點．
(2)四邊形AFBD是矩形．證明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中點，∴AD⊥BC．∴□AFBD是矩形．
例7.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交於點O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．
（1）求∠DBC的度數；
（2）求證：四邊形OBEC是矩形．
【解答】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=1/2∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=1/2∠ABC=30°，
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四邊形OBEC是平行四邊形，則四邊形OBEC是矩形．
例8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作ABDE，連接AD，EC．
（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形.
證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED，∠ACD=∠EDC，DC=DC，∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；由（1）可知，AC=DE，∴ADCE是矩形．
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