小學數學:數的整除

　　一、整除的意義

　　整數a除以整數b(b≠0)除的商正好是整數而沒有餘數，我們就可以表述為:

　　a能被b整除;b能整除a。

　　注意:

　　整除與除盡的區別和聯繫:

　　整除中，被除數、除數(不為0)、商三者都是整數,且沒有餘數。

　　除盡中，被除數、除數(不為0)、商三者中不一定都是整數,也可以是小數或分數,也是沒有餘數。

　　"整除」是「除盡」的特殊情況。

　　二、由整除而引申出的一系列概念

　　1.因數和倍數

　　如果自然數a和自然數b的乘積是c，即axb=c,那麼a和b都是c的因數，c是a和b的倍數。

　　注意：

　　因數和信數的概念是相互依存的，不能單獨說a或b是倍數或因數，而只能說a是b的倍數，b是a的因數。(a、b都不能為0)。

　　一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是這個數本身，沒有最大的倍數;一個數的因數的個數是有限的，其中最小是1,最大的是它本身。

　　2. 2、5和3的倍數的特徵

　　1)2的倍數:個位上是0,2,4,6,8的數。

　　2)5的倍數:個位上是0或5的數。

　　3)3的倍數:各個數位上數字的和是3的倍數的數。

　　注意:

　　如果一個數,要想同時能被2、3、5中的兩個或三個數整除，則這個數必須同時符合能被這兩個或三個數整除的數的特徵。

　　3.奇數和偶數

　　1)自然數中，是2的倍數的數叫做偶數(0也是偶數) ,0是最小的偶數，沒有最大的偶數。

　　2)自然數中,不是2的倍數的數叫做奇數。最小的奇數是1 ,沒有最大的奇數。

　　4. 質數、合數和分解質因數

　　1)質數:一個數如果只有1和它本身兩個因數，叫作質數(或素數)。

　　2)合數:一個數如果除了1和它本身以外，還有別的因數,叫作合數。

　　3)質因數:每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數都叫作這個合數的質因數。

　　4) 分解質因數:把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

　　5)分解質因數的方法：質因數分解法(塔式分解)短除法。

　　例如把18分解質因數，見下圖

　　加法:偶+奇=奇 偶+偶=偶 奇+奇=偶

　　減法:偶一奇=奇 偶一偶=偶 奇-奇=偶

　　乘法：奇x偶=偶 偶x偶=偶 奇x奇=奇

　　自然數（按因數個數分）

　　a、質數：只有兩個因數

　　b、合數：兩個以上的因數

　　c、1：只有一個因數

　　記住：1既不是質數也不是合數

　　5. 互質數

　　只有公因數1的兩個數叫做互質數。

　　注意:

　　a.1和任何自然數(0除外)都互質:相鄰的兩個自然數(0除外)互質;

　　b.兩個不同的質數互質；

　　c.當合數不是質數的倍數時，這兩個數互質；

　　d.當兩個合數的公因數只有1時，這兩個合數互質。

　　6.公倍數和公因數

　　1)公倍數:幾個數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數;其中最小的一個數叫作這幾個數的最小公倍數。

　　2)公因數:幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數;其中最大的一個數叫作這幾個數的最大公因數。

　　7. 求最大公因數和最小公倍數

　　用短除法求幾個數的最大公因數時，先用這幾個數的公因數連續去除，直到所得的商互質為止,然後把所有的除數連乘起來。

　　用短除法求幾個數的量小公倍數,先用所有數的公因數去除,然後用任意兩個數的公因數去除，直到所得的商兩兩互質為止，最後把所有的除數和最後的幾個商連乘起來。

　　注意:

　　若幾個數中，較大數是較小數的倍數，較小數是較大數的因數，則較大數是它們的最小公倍數,較小數是它們的最大公因數。

　　例如: 3、6和18 18是3、6、18的最小公倍數,3是它們的最大公因數。

　　若幾個數兩兩互質，則它們的最大公因數是1,最小公倍數是這幾個數連乘的積。

　　例如: 2、5和11兩兩互質，所以它們的最大公因數是1.最小公倍數是2x5x11= 110。

　　幾個數的公因數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

　　經典題型分析講解

　　1、選擇。

　　在四位數15 0中的方框裡填上一個數字,使它能同時成為2、3、5的倍數，最多有( )種填法。

　　A.2 B.3 C.4 D.10

　　分析： 根據能被2,3,5整除的數的特徵,要使150這個數同時成為2、3、5的倍數，只要讓這個四位數各個數位上數字之和能被3整除即可，又因為這個數千位數字、百位數字和個位數字之和已能被3整除，所以填的數字也必須能被3整除。因而可以填0、3、6、9 四種答案，所以選C。

　　2、算一算：有兩根繩子，一根長80分米，另一根長96分米，要把這兩根繩子剪成同樣長的小段，每段最長是多少分米?一共可以剪兒段?

　　分析：兩根不一樣的繩子，要剪成同樣長的小段，又要求最長，實際上是求這兩根繩子長度的最大公因數,最後要求一共可以剪幾段，相加即可。

　　解： 因為80和96的最大公因數是:2x2x2x2=16，則最長可剪16分米

　　96÷16=6(段)

　　80÷16=5(段)

　　共剪：5+6=11(段)。

　　答:每段最長是16分米,一共可剪11段。

　　注意:

　　解答此類應用題，用最大公因數求「最長」，而要求「一共」則只能把兩個商相加，而不是相乘。

　　3、有一堆蘋果,3個3個地數餘2個，4個4個地數餘3個,5個5個地數餘4個。這堆蘋果最少有多少個?

　　分析：此題是一道較複雜的整除問題,要會靈活運用最小公倍數解題。

　　由題意可知,蘋果數並不能被3,4,5整除，而是有餘數。這裡應注意觀察，餘數分別是2,3,4,正好比除數小1。也就是說若添上一個蘋果，則蘋果總數就能被3,4,5整除,即增加一個蘋果後，蘋果總數應是3、4、5的公倍數,要求「蘋果總數最少」，則要先求出3,4,5的最小公倍數，再減去1即可。

　　解：3、4、5 的最小公倍數為3x4x5=60

　　則原來蘋果數是: 60-1=59(個)。

　　4、在自然數1--100中，質數有25個，合數有( ) 個。

　　分析:把自然數分成質數和合數兩類，忘記了1，1既不是合數也不是質數。

　　正確解法：1--100自越數中，質教有25個，用100-25=75，這75個數中包含了1，所以還要減1即75-1=74，則合數有74個。