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昨天說了一下整除的性質，今天就接著來聊聊整除。
之前有一次給小學老師培訓，也提到了整除，我也是隨口一問，大家知道被9整除的數字有什麼特點麼？
結果答上來的寥寥無幾，我真的是大跌眼鏡，是的，你沒看錯——知道被9整除的數字的特點也不是每個小學數學老師都會的，很多都不會。
於是我又問了一個頗顯我低情商的問題：那你們知道怎麼證明麼？
我徹底把天給聊死咯~
其實這個證明真的不難啊！假設一個整數為a1a2a3……an，那麼各位數字之和就是a1+a2+……an，兩者相減就是a1×99……9(n-1個)+a2×99……9(n-2個)+a(n-1)×9，所以各位數字之和如果是9的倍數，那麼原來的數字必然是9的倍數。
所以從這個地方我們可以看出，一部分小學數學老師的水準實在是。。。每每想到這點，就無力吐槽這個教師資格證考試。連整除的性質都搞不明白，要求他們講快速驗算實在是難為他們了。
會證明被9整除的性質，那麼被3整除也就馬上可以得到了。
事實上，把昨天提到的那些數整除的性質自己證明一遍是有好處的。2和5的性質是非常容易證明的，能被4整除的性質就是把這個數拆成兩部分XXXX00+ab，前面這部分肯定是100的倍數，所以自然是4的倍數，即只要看後兩位能否被4整除即可。
一個有意思的問題來了，如果你是個有心人，很容易發現100=4×25，所以能被25整除的數的特點也就只要看末兩位是否能被25整除即可。
再聯繫被2和5的整除特點，我們發現能被8和125整除的特點是末三位能被這兩個數整除，再推廣到2的n次和5的n的整除特點就是末n位能被2的n次或者5的n次整除。
是不是很有意思了？
什麼叫發散思維，這就是發散思維；什麼叫舉一反三，這就叫舉一反三；什麼叫活學活用，這就叫活學活用。
那麼如何證明被7整除的特點呢？這個恐怕是這些性質裡最難的一條。
我們首先來看被7整除的數的特點：即該數的末位數字乘以2，減去除掉末位數字以後得到的數字，能被7整除，那麼這個數一定被7整除。
不妨設這個數為10x+y，那麼按照判別的方法，得到的數為2y-x，而2(10x+y)-(2y-x)=21x，是7的倍數，如果2y-x也是7的倍數，那麼10x+y自然是7的倍數了。
你看，這就是利用拼湊的辦法，把未知的問題轉化成已知的問題。我們不知道這個數能否被7整除，但是現在告訴你判別的方法了，於是我們就想辦法把不知道的數用知道的兩個被7整除的數表示出來。
整個的數學學習中最重要的思想方法就是化歸，就是把不知道的如何轉化成知道的——聽起來這就是句正確的廢話，但是裡面包含的東西真的是博大精深啊~
能被11整除的數的特點的證明就留給你們當個作業吧，自己嘗試著推導一下，另外，仔細研究一下7,11,13這三個數，會有驚喜哦~~