包學習 | 一次函數與二元一次方程

2021-02-21 包學習

一元二次函數是貫穿中學階段的一大函數，初中階段是基礎中的基礎，主要對它的一些基礎性質進行了解。

考試時，不止可以單獨考查，還可以結合函數來出題。從歷年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基於此，今天包Sir就給大家分享我精心總結的知識點大盤點，先從基礎開始，逐漸深入掌握。


小編亂入




一般地，一次函數y=kx+b的圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標的點都在一次函數y=kx+b的圖像上.

（1）二元一次方程有兩個未知數，而一次函數有兩個變量；

（2）二元一次方程是用一個等式表示兩個未知數的關係，而一次函數既可以用一個等式表示兩個變量的關係，又可以用列表法或圖像法表示兩個變量的關係.

(3)二元一次方程的解要用「{」寫起來，一次函數圖像上的點用坐標表示.

(單選題)下列圖像中，以方程y-2x-2=0的解為坐標的點組成的圖像是（  ）

A.A

B.B

C.C

D.D

【答案】C

【解析】因為方程y-2x-2=0的其中兩個解為                                              

所以過點(0,2)與點(-1,0)的直線就是方程y-2x-2=0的解為坐標的點組成的圖像.

故選C.


1. 一次函數與二元一次方程組的關係

一般地，如果兩個一次函數的圖像有一個交點，那麼交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解.

2. 二元一次方程組的圖像解法

用一次函數的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法.

3. 用圖像法求二元一次方程組的解的一般步驟

（1）變函數：把方程組化為一次函數與

（2）畫圖像：建立平面直角坐標系，畫出兩個一次函數的圖像；

（3）找交點：由圖像確定兩直線交點的坐標；

（4）寫結論：依據點的坐標寫出方程組的解.

(1)用圖像法求出的二元一次方程組的解往往是近似值，而用解方程組的方法求出的解是準確值.

(2)利用圖像法求出的方程組的解是否標準,取決於所畫的圖像是否標準.

判斷圖像法求方程組所得到的解是否準確，可以將得到的解代入方程組中進行檢驗.如果方程組中的兩個方程同時成立,則得到的解是準確的.

二元一次方程組中的兩個方程對應的一次函數，其圖像可能是兩條相交直線、兩條重合直線或兩條平行直線，因此，方程組可能有唯一解、無窮多解或無解.

例題1.（單選題）[2020長春模擬]如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b和y＝mx+n相交於點（2，﹣1），則關於x、y的方程組     的解是（　　）

                                             

【答案】B

【解析】∵一次函數y＝kx+b和y＝mx+n相交於點（2，﹣1），

∴關於x、y的方程組

故選B．


題型1  利用圖像判斷二元一次方程(組)的解的情況

例題1. (填空題)如圖所示的是一次函數y＝ax－b的圖像，則關於x的方程ax－1＝b的解為x＝4.

【答案】4

【解析】根據圖像可知當y＝1時，x＝4，

即ax－b＝1時，x＝4.

所以ax－1＝b的解為x＝4.

例題2. (單選題)如圖，已知函數y=ax+b和y=kx的圖像交於點P，則根據圖像可得，關於x，y的二元一次方程組的解是（    ）

【解析】方程組的解就是兩直線交點的坐標，由圖像知兩直線相交於點（－3，1）.故選C.

例題1.（單選題）[2019河南鄭州期末]如圖，直線l1、l2的交點坐標可以看作下列方程組（  ）的解（   ）

                                             

【答案】A

【解析】由圖可知，

直線l2過（2，3），（0，﹣1），因此直線l2的函數解析式為：y＝2x﹣1.

直線l1過（2，3），（0，1），因此直線l1的函數解析式為：y＝x+1,因此所求的二元一次方程組為  故選A．

例題2.（填空題）[2019甘肅白銀會寧縣期末]如圖直線a，b交於點A，則以點A的坐標為解的方程組是

題型3  利用二元一次方程（組）與一次函數求參數的值

例題1.（填空題）已知關於x，y的二元一次方程3ax＋2by＝0和5ax－3by＝19化成的兩個一次函數的圖像的交點坐標為(1，－1)，則a＝2，b＝3.

【答案】2 3

【解析】兩個一次函數的圖像的交點坐標為(1，－1)，

則x＝1，y＝－1同時滿足兩個方程，代入得3a－2b＝0，5a＋3b＝19.聯立兩式則有  ，解得.

題型4 二元一次方程（組）與一次函數在實際生活中的應用

例題1.（解析題）如圖，l1、l2分別表示一種白熾燈A和另一種節能燈B的費用y（費用＝燈的售價+電費，單位：元）與照明時間x（小時）的函數圖像．假設兩種燈的使用壽命都是2000W,照明效果一樣.

（1）根據圖像分別求出l1、l2的函數關係式；

（2）當照明時間為多少時，兩種燈的費用相同；

（3）請直接回答，當照明時間為1400小時時，選擇哪種燈更划算．

【答案】見解析

【解析】（1）設l1的函數關係式為y＝kx+b（k≠0）.

∵函數圖像經過點（0，2），（500，17），

聲明：以上內容摘自包學習APP_動態教輔《全息解讀·數學|八年級上》，歡迎來包學習和更多小夥伴一起學習更多知識吧。

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