已知x>0,求1+(x^2+1)/x的最小值

2020-12-09 吉祿學閣

主要內容：

本文通過不等式法、三角函數代換法和函數導數法，介紹代數式1+(x^2+1)/x的最小值求解的具體步驟。

不等式法：

∵1+(x^2+1)/x

=1+x+1/x,又因為x為正數，

∴1+(x^2+1)/x

≥1+2√(x*1/x)=3。

即代數式的最小值等於3。

三角函數代換法

設x=1tant,t∈(0,π/2),則：

代數式

=1+[1(tant)^2+1]/(1tant)

=1+1(sect)^2/tant

=1+1/(sintcost)

=1+2/sin2t。

則當sin2t=1時，

代數式的最小值等於3。

導數計算法：

∵y=1+(x^2+1)/x,

∴y＇=(2x^2-x^2-1)/x^2

=(x^2-1)/x^2。

令y＇=0,則x^2=1,x=1，負值捨去。

(1)當x∈(0, 1]時，y＇<0，此時函數y為減函數；

(2)當x∈(1,+∞)時，y＇>0，此時函數y為增函數。

所以，當x=1時，函數y有最小值。

即代數式的最小值

=1+2=3。

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