2004年，英國權威科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者投票選出科學史上最偉大的公式。結果，具有「最美公式」美譽的歐拉公式毫無懸念地成功入選，它是偉大數學家歐拉於1748年發表的一個極其重要的公式：
這個公式非常巧妙地將三角函數與復指數函數關聯了起來，深刻而優美，被數學家們譽為「上帝公式」、「宇宙第一公式」等等。數學王子高斯就曾經說過一句話：「如果一個人第一次看到歐拉公式而不感受到它的魅力，那麼他不可能成為數學家」。物理學家理察·費曼稱之為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」。
尤其是當
而比歐拉公式更令人驚嘆的是歐拉本人傳奇的一生，他是人類史上最偉大的天才數學家之一（去掉之一也行），也是史上最多產的數學家。在29歲右眼失明、59歲雙眼失明的不幸遭遇下，歐拉憑藉著對數學純粹的熱愛和非凡的意志，一生寫下了令人難以置信的886種書籍論文，平均每年寫出800多頁，範圍涵蓋分析、代數、數論、幾何、物理、力學、天文學、彈道學、航海學和建築學等領域。聖彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。如今幾乎每一個數學、物理領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、四次方程的歐拉解法、數論中的歐拉函數、剛體力學的歐拉方程和歐拉角、流體力學的歐拉方程、變分學的歐拉-拉格朗日方程、級數論的歐拉常數和歐拉乘積公式、圖論中的歐拉圖、複變函數的歐拉公式等等等等等等，數不勝數。要知道，很多優秀的數學家窮其一生都未必能創造哪怕一個以自己命名的公式和定理啊！歐拉一個人就完成了這麼多變態級的偉大成就，讓人不得不懷疑他到底是不是人類。關於歐拉的故事這裡就不作詳細展開，我將放在後面的文章單獨敘述。
現在我們回到歐拉公式上來，它到底是怎麼推導出來的呢？應該怎麼來理解它呢？
我們以前大學的複變函數教材是這樣引入這個公式的：
（這張圖是從我十幾年前用的教材上拍出來的，年代感和滄桑感躍然紙上有木有！至今我仍保留著它，主要是想用來當反面教材）
我相信大部分同學看到這樣一個從天而降的定義之後，十有八九都被勸退了。什麼玩意兒！這是規定出來的？有這麼簡單粗暴、直奔主題的嗎？真的是令人猝不及防，非常費解！
接下來，我將結合分析語言和幾何直觀從3個不同的角度來聊聊如何推導和理解這個偉大的公式。
一、初等方式
我們先仔細觀察歐拉公式等號兩邊到底在表達什麼，先看看右邊
歐拉公式右邊的代數式我們搞清楚了，它就是一個單位圓。
再來看左邊，這個
這個
讓我們冷靜地想一想，不要被這個
好，既然
可能有人會問質疑說，實部
對比一下（1.1）式和歐拉公式，現在我們的目標是要證明兩點：
1、（1.1）式所表示的複數模長為1；
2、（1.1）式所表示的複數幅角為
為什麼證明這兩點就相當於證明了歐拉公式？因為如果一個複數的模長為1，且幅角為
現在我們把（1.1）式兩邊同時對
回憶高等數學裡面的一個基本的事實:
（1.1）式右邊求導結果是直接對實部和虛部分別進行求導，因此，兩邊同時求導之後的最終結果是：
再把 （1.1）式代入（1.2）式的左邊，重新整理一下即可得到：
根據（1.4）式可得 ：
我們接著證明複數
為了方便，我們記複數
現在我們繼續對（1.10）式兩邊同時對
把（1.10）式左右兩邊求導的結果再用等式連起來，即（1.11）與（1.12）兩式相等，得到幅角
綜上所述， 我們剛開始假設的（1.1）式：
所以（1.1）式就是歐拉公式：
二、質點模型
上面的初等方式在導入復指數函數
我們都知道複數是一個二維數，它跟複平面上的點一一對應，而平面上的點又與向量一一對應，所以任何一個複數都可以看作是平面上的一個向量。在物理學中有一個叫位移的物理量，這也是一個向量，它的方向從原點指向坐標點所處的位置（物理上稱之為徑向），這個向量描述的是一個質點的位置隨時間的變化軌跡，也就是質點的運動曲線。
那麼，很自然的，我們可以把複數
現在讓我們回想物理學中的速度概念，速度也是一個向量（在這裡我們同樣也可以把它看作是一個複數），它是位移關於時間的導數，其方向就是運動曲線的切線方向。
設質點的位移
我們現在就用這個質點模型來求解位移
能夠滿足這個條件的軌跡是什麼呢？
沒錯，只有圓周運動軌跡才能滿足這樣的條件，在任何時刻
好，運動軌跡求出來了，是一個圓，那還有一個問題，這個圓的半徑是多少？老辦法，我們用
所以，這個位移
這裡順便拋出一個問題給讀者們思考一下，如果位移向量對時間t求二階導數，那麼結果是什麼物理量？這個物理量與原來的位移向量的方向關係如何？
三、泰勒公式
在微積分學中有一個非常重要的公式——泰勒公式，這個公式可以說是微積分的巔峰，它是我們研究函數極限和誤差估計的最重要工具之一，無論是數學、物理等理論學科，還是工程、計算等應用學科，隨處都可見到泰勒公式的身影，可見它的重要性。但是這裡我不打算來展開敘述這個公式，大家先接受它就行。這個泰勒公式是說，如果函數
我們令
仔細對比（3.3）式、（3.4）式和（3.6）式之後，不難發現，（3.6）式右邊兩個括號內的級數剛好就是
利用泰勒公式證明歐拉公式是最常用的方法之一，其證明過程非常簡潔和清晰，只要直接代入公式即可，這也是大部分教材和一些網上的資料所採用的方法。
這個方法當然沒有錯，但是給人的感覺還是很抽象。我這裡補充一種幾何直觀的方法來理解泰勒級數（3.5）式的收斂過程。
我們先來看看（3.2）式，這個式子右邊的級數逐項累加過程可以這樣來理解：假設現在有一個動點位於笛卡爾坐標系的原點，那麼（3.2）式中的每一項的累加過程，可以看作是這個動點向坐標系
再看看（3.5）式，這個級數的每一項與（3.2）式的每一項其實是有聯繫的。為了方便，我們把（3.2）式的
所以，如果我們繼續用上面動點移動的觀點來理解
所以
好，我們已經藉助一個動點的運動模型理解了
這裡，複數加絕對值號表示模長。
因為
既然級數
上面我們已經通過泰勒公式方法證明出來了，級數
這張圖是當
這裡我們稍微停下來思考一下，以前我們高中學習對數函數
當
這些動圖來自一個非常著名的數學可視化視頻UP主3Blue1Brown，他的視頻以直觀的動畫呈現各種抽象的數學公式和定理，深受廣大學子的喜愛（當然也包括我這樣的中年大叔）。強烈推薦他的兩個系列視頻：《微積分的本質》和《線性代數的本質》，有興趣的同學可以去看看，相信你一定可以從中有所收穫。
四、結語
上面三種方法各有千秋，第一種是純數學分析的方法，儘管不是很直觀，但是在導入復變量指數函數
我個人以前學習高等數學的時候，非常喜歡
那什麼是數形結合的學習方法呢？這裡引用一位科普人士PeiLingX的觀點，他的觀點深得我心，對我的啟發很大，這個觀點是這樣的：「數形結合方法，就是把紙面上的嚴格推導（數），通過大量的思考，豐富為心中的直觀理解（形）的過程。簡言之，把數學學到心裡的過程，就是從數到形的過程，也就是讓自己對理論的理解更自然、更直觀的過程」。這才是真正有效的數學學習方法！
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