最美公式(一)-- e與自然

作者 | Helen & 編輯 | 羅數君

文 2906字  閱讀時間約 8分鐘

導語：

數學的美麗在於它的自然和簡潔。在我們熟悉又陌生的自然常數「e」的背後又蘊藏著巨大的力量。「最美的公式」這一系列將帶你仔細領略「e」在數學領域的魅力。第一篇，將對「e」進行定義並且運用「e」對複雜的公式進行簡單的證明。

學數學的朋友們總會被問到一個難題，為什麼要學數學？我卻覺得很困惑：「因為數學很美，難道這還不夠嗎？」 偶然間，我想起了很多年前看過的一本書，由獲得芥川獎的小川洋子所作，叫做《博士最愛的算式》，一個溫暖的故事。這個算式，也是所有故事的主角，叫做歐拉公式。小說裡的博士用這個號稱「世界上最美的公式」證明了愛的永恆。小說外，「羅博深數學」的母公司「Expii」也是以它命名的。

 

圖片來源：www.google.com

今天，我想把這個公式送給你們，連帶著它背後所有已經發生，正在發生和將要發生的故事。

 

故事開始於書裡的一句話，這也是我的信仰：

「每一個算式，每一個數字都有它的意義。」

 

帶著這句話，我們來看一看歐拉公式：

 

公式涉及到五個最基本的數量，而同時用最基本的關係來連接。在數學裡，我們總說越簡潔的關係是越美的，所謂 「大道至簡」。我們來看這五個基本量：

*注釋：基本量是指在量制中, 約定地被認為是相互獨立的。例如，在力學中一般取長度、質量和時間作為基本量。（來自百度百科）

 

而這其中，最抽象的可能是虛數單位 「i」；最熟悉卻最陌生的卻應該是「e」。

 

從小到大，我們在好多地方看到過它，知道它叫自然底數，也知道很多關於它的性質，可是對它的感覺還是朦朦朧朧的。比如，它到底哪裡自然了？它是從哪裡來的？

不如，就從我們知道的關於「e」的一切知識開始？

 

圖片來源：en.wikipedia.org

最先出現在腦海裡的可能是當年數學老師ppt上的那個海螺，學名其實叫做螺線。如果我們把e^x 畫在極坐標裡，呈現出來的效果，就是這樣一條美妙的螺線。稍加雕琢，我們還可以得到更多不同的黃金螺線，例如，「斐波那契螺線」。這環繞著我們所相信的，「e是自然的，是美的」。

*注釋：極坐標系（polar coordinates）是指在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從O出發引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個單位長度，通常規定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）。（來自百度百科）

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其次，學過極限的讀者們可能會知道關於e最著名定義，「x趨向於無窮時，(1+1/x)^x這個函數的取值約等於2.718281828459045...」，e 和我們熟悉的圓周率 pi 一樣，是一個超越數。

*注釋：超越數是指不滿足任何整係數(有理係數)多項式方程的實數，即不是代數數的數。例如，a=0.110001000000000000000001000…（a=1/10^1!+1/10^2!+1/10^3!+…）（來自百度百科）。

另外，學導數的時候我們遇到的關於e的公式是這樣的，

 

微積分裡的e又是另外一個定義：

所有這些公式和性質，你可能都聽說過，也都感覺很熟悉。但是，不知道你是不是也有這樣的感覺，學導數和微積分的時候背的公式，即使倒背如流，還是又熟悉又陌生，似懂非懂。對於e，羅教授是這樣帶我們理解的：

 

小學的時候我們學過指數函數，對數函數，知道各種底數相互轉換非常容易。不知道大家有沒有同樣的困惑，既然如此，計算器上為什麼會有兩個分別的按鈕，「log」： 代表底數 10 的對數，還有「ln」：底數為e的對數，看起來十分多餘啊！況且，10的指數和對數看起來都整整齊齊，乾乾淨淨，特別方便計算。既然這樣，我們不妨來看看10的指數函數和e的指數函數。

 

很明顯，10^x 增長得更快。我們回憶一下導數的定義，無非是某個點切線的斜率（slope）。就從圖像上來看，10^x的曲線「更陡」，而e^x更平和。有趣的是，這兩條線都過了同一點（0,1）。這也沒什麼神奇的，因為所有數的0次方，我們都定義為1。我們看x = 0這一點的斜率，如果我們說有這樣一個數e，e^x這個函數在 x = 0的時候斜率是1。如圖中的直線是y = x + 1，也就是e^x在 (0, 1)這個點的切線。

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背過常見函數的導數公式的讀者也應該記得，10^x在同一個點的斜率就是（ln 10）。比起號稱「自然底數」的e，10 給我們的感覺，要「自然」多了。可是實際上，我們之所以這麼喜歡10，只是因為我們在計數的時候習慣以10為計數單位（據說是因為人類有十個手指頭）。但是e在數學上的定義和應用，要自然得多。那麼，我們就從這一個定義出發，按圖索驥，看一看我們能不能得到前文提到的幾個公式。就像羅教授說的：「Mathematics is a way ofmoving from one side of belief to another, because every step is trusted.」  （數學讓我們將已有的信念轉化為新的信念，因為每一個步驟都是值得信賴的）

 

言歸正傳，我們嘗試證明：

回到這張圖，對於任何一點x，我們想知道這一點的斜率，其實只要找到兩個點。在微積分裡，我們選取一個離x「無限近」的點（x+h），讓h無限小。那麼根據我寫的這個證明，我們輕鬆地驗證了第一個e的性質。

接下來，既然我們對極限有了一定的理解，就讓我們來挑戰一下最著名的這個定義：

這個式子就複雜多了，這裡未知數的指數也是未知數，未知數的未知數次方，就好絕望啊。還記得我們一開始提到的對數函數嗎？把未知數從肩膀上扯下來，問題會不會簡單一些？

這裡，你有沒有注意到ln 正是 e^x 的反函數。我們曾經也學過，正反函數是關於 y = x 這條直線對稱的。我們看ln的曲線，它在（1，0）這一點的斜率也應該是1。

繼續我們的證明：

加星號的那一步可能有些難以理解，但實際上，只是一個小小的技巧。分子上，我們在「ln」裡面同除以「x」；分母上，我們加了一又減了一，實際上並沒有變。定睛再看一眼，你會發現這樣的形式和之前的斜率十分相似。

將這個結果帶回到我們最開始的等式裡, 就成功驗證了e最著名的定義：

至於ln x的導數，和我們證明的e的極限定義十分相似，這裡留給大家做練習。

 

回到我們最開始所說的那些性質，其中這條無窮級數的定義，看起來和我們之前證明的性質完全沒有關係。學過微積分的同學可能隱隱約約能想起來這看起來和泰勒展開很相似，又有點像sin 和cos 的無窮級數定義。再想一想，是不是會發現歐拉公式裡也有「pi」？！實際上，歐拉公式正是我們聯繫sin，cos 還有e的指數函數的奧秘。我們將在下一篇文章裡討論這些。

圖片來源：en.wikipedia.org 

最後，讓我們以小說描述歐拉公式的一段話結尾：

 

「永無止境地循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡， 在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但來自宇宙的 π飄然地來到 e 的 身旁，和害羞的 i 握著手。它們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸， 但有人加了 1 以後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化化，一切都歸於 0。歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星；也像是刻在漆黑的洞窟裡的一行詩句。」

 

下一次，我將和你們一起探索數學界最美的一行詩句——「歐拉公式」。

 

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