珠江君嘗試不用公式，用通俗易懂的方式，來解讀e的自然之美，爭取有中學基礎的人就能看懂。
（篇幅比較長，不喜歡長篇大論的，可直接跳到後面看結論）
e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等於2.71828182845904523536……的無理數。
以e為底的對數稱為自然對數（Natural logarithm），數學中使用自然（Natural）這個詞的還有自然數（Natural number）。這裡的「自然」並不是現代人所習慣的「大自然」，而是有點兒「天然存在，非人為」的意思。
以自然作為基礎，會比人為強制規定作為基礎更穩定和可靠。
例如：
英尺(foot)的長度就是根據人的腳長來人為規定，人的腳長差異太大，歷史上英尺發生過很多次變化，不穩定，這是不自然的。
而海裡的長度則接近自然，如下圖，海裡是根據地球周長計算的，是1角分的長度，變化就極小。
古希臘認為像1、2、3這樣的數，是事物本身就有的屬性，可以用來描述日常事物的數量和順序，無需過多解釋，就是3歲小孩也能快速理解，所以這些數被稱為自然數（Natural number）。
但這種樸素的自然觀限制了數的範圍，無法解釋0，負數、分數、小數等數。古希臘人認為這些數並不自然，是人為了計算而發明出來的，不是自然的數。
現代我們知道，沒有受過基礎數學教育的人要想理解這些數，不僅需要了解更複雜的概念模型，還要熟悉加、減、乘、除等運算方法，只有這樣才能完全明白。而更複雜的數，例如無理數、代數數和超越數，也需要了解更複雜的運算。
我們的主角e，就是超越數，既然理解e的含義需要理解相關的運算，而這些運算最早都和利息有關。
e和圓周率π都是超越數，π的含義可以通過下圖的割圓術來很形象的理解。假設等邊形的最長對角線長度為1，只要等邊形的邊足夠多，算出來的周長就可以越來越接近圓周率π。
但是解釋e的含義卻很難找到這樣直觀的例子，幸好珠江君在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直觀的圖，只要理解了這個例子，e的含義就明白了。
假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！
銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元
銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元
假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元
假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元
假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元
這個數越來越接近於e了！
哎呀！費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！
對！1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，有興趣的同學可以用計算器算一下。
我們和圓周率再做個對比：
●多邊形的邊數和利滾利的次數是相似的。
●對角線為1的n邊等邊形，n趨於無窮，周長就無限接近於π，即π是周長的最大值。
●年利率為1（100%）的1元存款，利滾利的次數n趨於無窮，存款就無限接近e，即e是存款的最大值。
換種表述方法：
●每個完美的圓，其周長都是π的倍數；
●每個理想的存款，其餘額都是e的倍數。
這裡停一停，你好好體會一下。
按照自然的觀點，如果圓是最美的，那最賺錢的也是最理想的。
有人說：我不懂微積分，估計看不懂！
沒關係！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。
例如：
把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；
把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。
在微積分中，底數為e的指數函數ex，其導數還是這個函數ex，也就是不論求多少次導數，其導數就像一個常量一樣永遠是恆定的。不知道別人的感覺如何，反正我第一次知道時是很驚奇的。
舉個例子：
就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！
這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！
下面就是y=ex在直角坐標系中的樣子
對數中最常用的底數是10、2和e
為什麼要以10為底數？
因為我們使用10進位，數量級和科學計數法也是10的倍數。所以10x的逆運算，以10為底的對數 lg x最常用、最方便，所以又稱常用對數。
10進位是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡藉助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡藉助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進位。
為什麼要以2為底數？
因為2倍或成倍式的增長，即2x，是我們日常中最簡單的指數式增長。我們經常說數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。所以2x的逆運算，底數為2的對數 lb x 也會比較常見。
雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。
為什麼e被稱為自然底數？
用e做底數的對數表達方式是 ln x
前面在講「利息中的e」時，曾拿π和e做過對比。
●邊數越多越接近圓，利滾利越多越接近最大收益
●一個對角線為1的多邊形，其周長最大值是π
●一個本金為1利率為1的存款，其存款餘額的最大值是e
按照古希臘的自然思想來看：
●對於一個完美的圓來說，π才是自然的，是圓本身的屬性，儘管從數值上是一個「無理」的數。
●對於最快速的指數增長來說，e才是自然的，這是指數增長本身的屬性。
而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。
ln x 就像美學上的「增之一分則太長，減之一分則太短」。
知多點
2004年Google公司IPO上市，創始人Larry Page和Sergey Brin決定上市融資總額為2718281828美元，也就是e的前10位數字。因為他們都精通數學，很喜歡e的自然之美，當然也希望公司能像ex一樣實現指數型高速增長。
對數學家來說，最簡就是最美。這是一種純理性的美，通過感官是無法欣賞的，只有熟悉數學的人才能深刻的感受到。這種美令無數數學家為之痴迷，雖然不會像畢達哥拉斯那樣狂熱，但也終其一生孜孜以求。
1、歷史上，"自然"是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵；
2、隨著利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在；
3、1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e；
4、e和π一樣都是內在規律，反映了指數增長的自然屬性；
5、大自然中到處都有對數螺線的身影；
6、其他底數都是發明出來方便人使用，只有e為底數是被發現的；
7、數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式；
把e冠以自然底數、自然常數之名，把e為底數的對數稱為自然對數，是數學家們用自己的方式對e所進行的美學評價。
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大多數人樂於收藏，卻總是忘記點讚，就像走在乾淨的路上，是否能想到清晨忙碌的清潔工。
——《花吃了那女孩》
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