自然底數e的證明

2020-12-12 徐東澤

首先考慮兩個數列

當n趨向於無窮大的時候這兩個數列的極限值都應該是e

那麼如何證明呢？

首先我們要知道證明數列收斂的條件，先考慮

最常用的條件：單調有界的數列必有極限。

這其中有兩個條件

單調性有界性下面證明

上面看到en有n+1個項相加，並且每一項都大於0，由此可見，en是一個嚴格單調遞增的數列。

上面的en就是小於Sn，現在我們考慮Sn的斂散性

我們看到數列Sn是一個嚴格單調遞增數列，因為每一項都是正的且不等於零

現在我們只需證明Sn有界即可證明極限存在，即數列Sn收斂。

這是如何得來的呢？

我們把每一項的底數都縮小，整體即擴大。注意到

所以說Sn有極限（證明了單調性和有界性，單調有界數列必有極限），令Sn的極限為S

所以數列en也有極限（單調性和有界性都已經證完）en小於Sn

因為en嚴格單調遞增，我們取一個比n小的數m，

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