本文研究對怎樣的整數六元組(a,b,c,d,e,f)多項式x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2在變元x,y,z取自然數值或整數值時可表示所有自然數。
對於整數m=3,4,…, 古希臘數學家依正m邊形引入的m角數如下給出：pm(n) = (m-2)n(n-1)/2+n(n=0,1,2,…). 特別地，四角數就是平方數，三角數形如Tn= n(n+1)/2(n=0,1,2,…). 1638年Fermat宣稱每個自然數（即非負整數）可表成m個m角數之和，m=4時這由 Lagrange 在1770年證明, m=3時被Gauss在1796年解決, m ≥ 5的情形直到1813年才由Cauchy給出證明。pm(x)在x取整數值時也給出自然數值，這些叫做廣義m角數。
1862年Liouville定出了全部的7個正整數三元組(a,b,c)使得每個自然數可表成aTx+bTy+cTz的形式，其中x,y,z屬於自然數集N=. 2005年作者發起研究怎樣的平方數與三角數混合和ax2+by2+cTz或ax2+bTy+cTz可表示所有自然數，通過作者及其合作者的三篇論文，這問題在2009年獲得最終解決。
2009年作者又發起研究怎樣的三個多角數線性組合api(x)+bpj(y)+cpk(z)可表示所有自然數(參見Sci. China Math. 58(2015), 1367-1396)，提出了許多猜想並證明了一些結果，例如：他猜測每個自然數可表成一個三角數、一個偶的四角數（即平方數）與一個五角數之和，並證明把五角數換成廣義五角數時這是對的。韓國的B-K. Oh證明了作者在這方面的部分猜測。
本文考慮一般的三個單變元二次多項式和
x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2， （*）
這裡a,b,c,d,e,f為整數，a≥c≥e>0, b>-a, d>-c, f>-e, 且a+b,c+d,e+f全為偶數。如果(*)在變元x,y,z取自然數時能表示所有自然數，我們就說它(或相應的有序六元組(a,b,c,d,e,f))在N上通用。Gauss的三角數定理相當於說(1,1,1,1,1,1)在N上通用。本文證明了在N上通用的 (a,b,c,d,e,f)只可能在我們具體列出的473個六元組中，我們還使用種種技巧證明了其中56個的確在N上通用，並猜測餘下的候選（見該文附錄）也都在N上通用。
在0≤bZ上通用。本文決定出所有這樣的六元組候選(a,b,c,d,e,f)（共有12082個），並利用三元二次型理論證明了其中一些候選的確在Z上通用。
我們用個具體的例子來說明。作者猜測(1,1,3,1,5,1)在N上通用，即多項式
P(x,y,z) = x(x+1)/2 + y(3y+1)/2+ z(5z+1)/2
在x,y,z取自然數時能表示所有自然數。我們證不了這個並宣布懸賞135美元徵解，但本文證明了P(x,y,z)在x,y,z取整數值時可表示任何自然數。
自然數的表示問題是數論的中心話題，本文展開了一個龐大的計劃。要證明餘下的上萬個六元組（在N上或Z上）通用候選的確是通用的，將是長期而艱巨的任務。使用現有的三元二次型理論遠遠不足以完成這個任務，本文有望刺激出處理這類問題的新方法或新理論。
作者簡介：
孫智偉，1965年10月生。現為南京大學數學系教授、博士生導師，數學係數學與應用數學專業主任, 中國數學會組合與圖論專業委員會副主任，其研究方向為組合數論與加法組合。
他獲過多項榮譽與獎勵，例如：教育部首屆青年教師獎、國家傑出青年科學基金與國務院政府特殊津貼。他在組合與數論交叉領域有許多創新成果, 迄今已在國外著名數學期刊《Trans. Amer. Math. Soc.（美國數學會彙刊）》等SCI雜誌上發表了一百多篇學術論文。他還提出了許多原創性數學猜想，引起一些國際著名數學家的關注與研究。