「說理」課堂是深度學習的一種方式。HPM（the Relation between History and Pedagogy of Mathematics）即數學史與數學教育的關係，是指數學學習者可以通過回溯幾千年前的歷史、人物和文化，去理解數學知識的來源與關鍵點。
在數學教學過程中，我們發現有些學生只忙於解決問題，而不重視理解的過程，他們往往對知識點一知半解。實踐證明，不以理解為基礎的數學學習者，他的數學金字塔隨時可能倒塌。我們該如何更好地引導學生理解數學知識，幫助學生掌握知識的本質內容呢？筆者以北師大版四年級下冊綜合與實踐《密鋪》一課為例，談談自己如何利用數學史引導學生構建說理課堂，深度學習數學知識。
《密鋪》這節課的教材從生活中簡單的鋪磚方法導入，讓學生思考：什麼是密鋪？什麼樣的圖形能密鋪？為什麼能密鋪？然後通過讓學生猜測、設計方案、動手實驗，探索「三角形和四邊形能不能密鋪？」這個主要問題。學生在經歷「認識密鋪——解釋密鋪——設計密鋪」的過程中，合作交流和解決問題的能力可以得到有效提高。學生往往還會追問「為什麼？」，我真擔心當他們問：「老師為什麼要學密鋪啊？」「它有趣嗎？」「只有在鋪磚時用到嗎?」……我一臉懵。在認真研讀教材的過程中，我發現書上雖然展示一些有趣的、精美的「密鋪」圖形，但沒有介紹它們的故事，更無法通過這些圖形的講解吸引學生的興趣，幫助學生答疑解惑。
數學史家M.克萊因的一個觀點：歷史是教學的指南。於是，我開始挖掘「密鋪」的發展史，原來「密鋪」有著深厚的歷史背景：1619年，數學家奇柏第一個利用正多邊形「鋪嵌」平面；1891年，蘇聯物理學家弗德洛夫發現了十七種不同的「鋪嵌」平面的對稱圖形；1924年，數學家波利亞和尼格利重新發現了這個事實。最有趣的是荷蘭藝術家埃舍爾，他創造了很多有趣的「密鋪」圖案。通過閱讀數學史，我們了解了「密鋪」這一知識的來龍去脈，看到了知識的傳承與發展，找到了「密鋪」這一知識的根！如果說興趣是學生學習的動力，那麼有趣就是學生學習的引力。我以埃舍爾的「密鋪」作品開場，用有趣的圖案激發學生學習和探索的興趣，我首先出示如下圖案：
這些精美的圖案學生乍一看只會覺得好看，教師只要稍加引導學生就會發現圖案中更多的奧秘，能有效激發學生求知的欲望。我通過對「密鋪」這一數學知識歷史的學習和研究，了解到埃舍爾「密鋪」圖案的靈感是來源於馬賽克圖案，於是我就尋找了一些馬賽克圖案引導學生把它們與埃舍爾的「密鋪」圖案作對比，通過對比、觀察學生們發現：這些圖形之間存在空隙。 隨後，課堂圍繞著「空隙」展開了一系列對話。我問學生：「這樣鋪地或砌牆好不好？」很多學生回答：「好！挺好看的。」但有個別的學生在認真觀察後會說：「不好。」、「不平。」、「有縫隙」。繼續問：「那怎麼辦呢？」「再鋪幾塊，填補空隙……」，學生不斷地提出自己的見解。此時，我進一步問：「補什麼形狀？」有的學生說：長方形或正方形。而有的學生卻說：「不行，那會不平。」「重疊了，凸出來了，就不平了。」我假裝恍然大悟：哦！圖形既要鋪滿又不能……（稍作停頓），很多學生都會有感而發：不能重疊。此時，我再次引導學生賞析埃舍爾的作品，討論：這些圖案之間有什麼共同點呢？「沒有空隙，也不重疊……」關於密鋪的本質特徵就這樣在這一次次的交流討論中感悟到了。最後，師生一起總結：像這種圖形之間沒有空隙，也不重疊，就是密鋪。
埃舍爾這位有趣的人物畫出的有趣的圖案，讓學生從一般讚美到認真觀察後發現奧秘的驚訝，極大激發了學生的探究欲望。而在觀察馬賽克圖案的過程中，學生逐漸發現問題，在比較中解決問題，從而認識到：圖形之間沒有空隙，也不重疊，是密鋪。當我們再把生活中出現的「密鋪」現象展示出來時，學生就能夠深刻地感受到數學知識在生活中的廣泛應用，體會學習數學知識的重要性，提高學習數學的興趣。
本節課有一個重要的目標是培養學生的空間觀念，除了動手實踐，充分發揮想像力也是十分重要的。我在教學過程中，經常會放慢腳步讓學生「想像」，但總感覺有些孩子不願意想。如何讓學生自主打開腦洞、積極想像呢？我想，埃舍爾這位歷史人物在這裡可以幫助到我。我通過查閱資料，收集了許多關於埃舍爾的小故事，如：埃舍爾小時候成績並不好，但是擅長繪畫，他繪畫的本領更多是來自於他喜歡想像，想像給他帶來了創作的靈感。我想，學生既然喜歡埃舍爾的作品，自然會主動學習他的行為，不善於想像的學生與小時候成績差的埃舍爾也會來一次穿越時空的惺惺相惜，他們也會學習他的優點，做到主動想像。
基於以上的考慮，我在課堂上給學生講了埃舍爾小時候的繪畫故事：其實，埃舍爾並不是一位數學家，不僅如此，他的數學成績還很差，二年級甚至要復讀。但是他平時注重觀察、喜歡想像，因此他的繪畫作品都很有意思。他創造的很多繪畫作品，不僅吸引了許多藝術家，而且吸引了很多數學家，他們都非常驚嘆於他的想像力。看來，想像是非常有意義的呢！隨後，我又展示了埃舍爾的一些繪畫作品及這些作品在生活中的應用，讓學生進一步感受想像所產生的力量。
我們常常會犯這樣的錯誤：只把完美的知識告訴學生，卻把知識的缺陷和不足隱藏起來。有時候學生問「為什麼」，我們常常會通過各種方法緩一緩、放一放，甚至封存起來不理會。在「密鋪」的教學過程中，通過數學史的研讀認識到人們關於平面「密鋪」的探索至今仍是不完美的。現在知道的是：任意的三角形、四邊形都能「密鋪」，正六邊形能「密鋪」（已經證明：六邊形只有三種「密鋪」），七條邊及以上的多邊形不能「密鋪」。那麼，五邊形呢？學生通過動手操作，很容易發現正五邊形不能密鋪，那其他五邊形呢？查找「密鋪」的數學史，你會發現：五邊形平面「密鋪」的問題一直是數學界的難題。作為數學教師，我也不能解決這個問題。但班上總有幾個愛動腦筋的學生會問：哪些五邊形能「密鋪」呢？
我們不可以覺得學生小，不能理解，而隨意忽悠他們，可以如實的告訴孩子：這是一個數學界的難題！甚至還可以鼓勵他們：「老師目前也不知道答案，但老師知道有很多數學家都在嘗試尋找到底哪些五邊形能「密鋪」？到2015年，數學家們共找到了15種能密鋪的五邊形。如果你們有興趣，可以從變形的五邊形入手，也嘗試找找有哪些五邊形能「密鋪」。說不定，你們能有所發現。「密鋪」的應用很多，說不定你們的發現能解決很多問題哦！五邊形是唯一的一種沒有被完全理解的形狀，每個人都可以去探索。」我們不能剝奪學生探索的權利，而應該鼓勵他們積極去創造，數學史應該由他們去創造，去延續。總之，構建數學「說理」課堂的目的在於讓學生深度的理解數學知識，數學知識的本質有的就埋藏在縱深的歷史中，學生遇到的問題又常常與歷史上數學家遇到的問題是那麼的相像，所以，解讀數學史能更好的幫助教師解讀學生，利用數學史上優秀人物的精神能更好激勵學生努力學習，暴露數學史遺留的問題能鼓舞學生勇敢去探索和創造。
【參考文獻】
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畢業於漳州師範學院，二級教師，泉州市優秀輔導員，現任教於泉州市育群小學，任少先隊總輔導員。曾在首屆「京師杯」全國中小學教師數位化教學能力展示活動中獲數學課件類福建省二等獎；在福建省少先隊優質課評比中榮獲二等獎；有多篇數學論文獲獎並彙編發表；曾在區微課和試卷命制比賽中獲獎。