國內外多門課程中存在的: 錯誤的推導，可笑的解釋，荒謬的應用

這錯誤在國內外高等數學、金融學、貨幣銀行學、工程經濟學、公司理財等多門課程中長期存在，憑常識判斷肯定是不相信的，我們先看看這是不是錯誤的推導，再從認識和應用兩個方面各舉一個很基礎很簡單，誰都應該能看懂的例子。我們討論知識的對與錯，要靠事實說話，所以就列舉了三部教材的例子。數學是基礎，這錯誤起源於數學家雅各布.伯努利，數學中的錯誤解釋和應用更容易看明白，因此這裡都是選取了數學教材中的例子。

一 錯誤的推導

例 2018年出版的《高等數學》中推導這種連續複利計算公式的過程(見下面圖片)是:

每年計息一次，得資金總額公式

S(1+r)^t ，如果以1/n年為單位計算複利，則得S(1+r/n)^(nt) ，如果每時每刻計算複利(稱為連續複利)，即n→∞，則得到Se^(rt) .

注意這種推導就是對同一個字母r,由S(1+r)^t 得S(1+r/n)^(nt)，再得出Se^(rt) .

推導過程錯誤:第一步用的公式S(1+r)^t 是所謂不連續計算公式，時間變量t只取整數，t=0.25、0.5、0.75時無意義，是不可計算的。在第二步中的公式S(1+r/n)^(nt)中,例如n=4時，t=0.25、0.5、0.75就有意義了，就是可以計算的了，第二步中的條件就否定了第一步中的條件，後邊的話就否定前邊的話。用後邊的話否定前邊的話，無論在自然科學還是在社會科學中的推理過程中，這都是違背基本邏輯的，都是錯誤的。

推導結果錯誤:以年利率10%為例，這種推導就是根據S(1+10%)^t 推導出了

Se^(0.1t)=S(1+10.517%)^t ，也就是根據10%推導出了10.517%。須知，這是用任何知識都推導不出來的。

產生這種錯誤的根源:產生這種錯誤的根源在於S(1+r/n)^(nt)的構成。每1/n年計算一次利息，用的是單利折算，每1/n年的利率折算成r/n，返回來計算總額又用複利法，「先分後總」，來回走的不是一條路，這樣計算資金總額就越來越大。銀行儲蓄應用的分期計算公式可以寫成S(1+r(n)/n)^(nt),這公式中的名義年利率r(n)對應一年中的計息次數n, 儲蓄期短，一年中計息次數n增加，相應的名義年利率r(n)一定減小 。連續複利計算公式推導中用到的公式S(1+r/n)^(nt)與此不是在實際應用中不存在。

我們還可從其它多角度分析這種方法的錯誤，這種推導錯誤無疑。

二 可笑的解釋

對於錯誤的方法，怎麼也不會有合理的正面解釋，各種教材中關於其意義的解釋都是不對的，這裡舉一個最容易看懂的錯誤解釋。

例 2006年立信會計出版社出版的一種《高等應用數學》（上冊）(該書48頁)講了連續複利公式的推導，在推導出所謂連續複利計算公式Se^(rt)後解釋說，這「意味著資金運用率最大限度的提高」。

這解釋是很離譜的。一是，在實際經濟活動中，資金運用率的提高是在具體的資金調度、運轉和使用中實現的，與這裡講的分期計算公式S(1+r/n)^(nt)連續複利計算公式Se^(rt)無關；二是，即便是在具體的利息計算中，自己與自己計算不會產生一分的經濟效益，不會提高資金利用率；在與他人進行利息計算時，若採用Se^(rt)計算，使自己「資金運用率最大限度的提高」，就是讓對方「最大限度的」的損失，對方是不會同意的。這解釋是完全脫離實際的， 是很離譜的。

說連續複利計算公式的推導，由S(1+r)^t 推導出Se^(rt) 是錯誤的，這絕不是說表達式Se^(rt) 錯誤。在某些問題中必須用恆等式的方法將S(1+r。)^t(注意這裡是字母r。)轉化成Se^(rt) 形式，這種轉化與所謂連續複利計算公式的推導是兩回事。

三 荒謬的應用

講了這種連續複利計算法，就要講這方法的應用。這方法是錯誤的，不存在正確的應用，教材編寫者就只有編題湊題，按這錯誤方法配置習題就必然是錯誤的，以致把小學題搞錯了。

例 1982年出版的一本《經濟數學應用基礎(一)微積分》中的習題是，「已知職工人數的年增長率為v,原有職工人數為N。，試確定5年後職工人數的精確值。」見下圖習題19。

根據增長率概念，這題的年增長率就是，

(N(n+1)-N(n))/N(n)=v，這題的答案就是

N。(1+v)^5 ，這是一道簡單的小學題，得出任何不同於N。(1+v)^5的答案都是錯誤的。

而這題要求學生按照求連續複利計算公式的方法，給出解答是:

職工人數的年增長率是v,一年計算一次，5年後職工人數是

N。(1+v)^5；一年中計算n次，每1/n年的增長率是v/n, 5年後職工人數就是N。(1+v/n)^(5n)，令n→∞，得5年後職工人數精確值為N。e^(5v)。

這答案N。e^(5v)是錯誤的，荒謬到在把小學數學題搞錯了，這種明顯荒謬的錯誤在其它教材中也存在(如對此有異議，可寫出自己對「年增長率」的定義，給出這習題不同的答案，以便大家辨析)。

總之，對同一個字母r表達的年利率，由S(1+r)^t 推導出連續複利計算公式Se^(rt) 推導錯誤，解釋錯誤，應用錯誤，三錯一體。

再思考一下，自然科學和社會科學各個領域的實際問題中要不要，能不能進行連續計算 是由事物本身特性決定的 ，不是由數學推導決定的 。是不是這個道理?由此也可想到所謂連續複利計算公式的推導是錯誤的。

對下邊這一段可只看敘述，如有興趣可深究一下內容。

就我們查閱到的書籍，用到連續複利計算公式Se^(rt) 時，90%以上的書中根據S(1+r)^t 到Se^(rt) 的推導，把S(1+r)^t 中的r直接用到Se^(rt) 中去，S(1+r)^t與Se^(rt)計算的數值自然不相等。就是說，關於連續複利計算，90%以上的書講錯用錯。

有很少的書，不到10%的書，如2004年華夏出版社出版的英國人斯坦納的著作《核心金融概念：100條金融術語解讀與應用》中用到所謂連續複利計算公式Se^(rt) 時，特別強調用代換r=ln(1+r。)，其中r。為S(1+r。)^t中的普通利率。這實際就是應用

Se^(rt)=Se^(ln(1+r。)t)=S(1+r。)^t(恆等式)

這樣計算的數值還是用的普通複利公式S(1+r。)^t，這計算是對的 ，實際上就否定了連續複利的推導。關於連續複利 ，這些書是講錯用對。前面講錯，應用時又糾正了前面講法的錯誤，這種正確應用僅有數學恆等式即可。

要不要，能不能進行連續計算 是由事物本身特性決定的，不由數學公式形式決定，上邊這恆等式兩邊都可用來進行離散計算(時間變量只取整數)，也都可用來進行連續計算(時間變量可取任意實數)，所謂連續複利計算方法的推導在實際中也不需要。