朗蘭茲綱領:關於數學大一統的偉大構想

我們經常聊到物理學家都在追尋物理學的大一統，物理學的第一次大一統是麥克斯韋的麥克斯韋方程組，將電學與磁學相統一，建立了電磁學理論，後來，愛因斯坦想繼續完成麥克斯韋未竟之事業，將引力與電磁力相統一，最後失敗，而隨著弱力、強力的被發現，物理學界早已在上世紀 70 年代，將電磁力與弱力、強力進行統一，就只剩下了引力，可以說只差臨門一腳。

麥克斯韋方程組

而數學界也有許多的數學家想要實現數學各大分支之間的統一，其中最偉大的構想就是——朗蘭茲綱領。

數學中有三個相對獨立發展起來的數學分支分別是：數論、代數幾何以及群表示論。

代數幾何是幾何學延伸出來的一個分支，是將抽象代數，特別是交換代數，同幾何結合起來。它可以被認為是對代數方程系統的解集的研究。代數幾何以代數簇為研究對象。代數簇是由空間坐標的一個或多個代數方程所確定的點的軌跡。例如，三維空間中的代數簇就是代數曲線與代數曲面。代數幾何研究一般代數曲線與代數曲面的幾何性質。

而群表示論則是群表示論用具體的線性群（矩陣群）來描述群的理論，是研究群的最有力的工具之一。群論的提出來源於伽羅瓦理論中，在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響之外，還生成了幾何群論這一新的數學分支。

「數論」其實在建立初期就叫「算術」，到20世紀初，才正式更名為「數論」。主要是研究整數的性質，其中對於素數通項公式的研究，貫穿了整個數論發展史。

「數論」誕生於古希臘時期，而後來歐氏幾何一統數學江湖，數學的研究陷入停滯，直到15-16世紀到19世紀，「數論」的研究再次興起，湧現出了一大批投身於「數論」研究的數學家：費馬，梅森、歐拉、高斯、黎曼、希爾伯特等。費馬大定理是數論中最著名的世界難題之一

費馬大定理

1801年，高斯以前人的研成果為基礎，發表了具有劃時代意義的數學著作《算術研究》，這部巨著被認為開啟了「現代數論」的新紀元。

算術研究英文版

而在《算術研究》中，高斯創立了「同餘理論」，並發現了被譽為「數論之酵母」的「二次互反律」。在此基礎上，黎曼創立了「黎曼ζ函數」，黎曼猜想就是是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想。

經過對「黎曼ζ函數」的研究，黎曼發現「複變函數」的「解析性質」似乎揭示了「素數的分布規律」。這一重大發現，將「數論」的研究領進了「分析領域」。

隨著新的「數學工具」不斷湧現， 數論開始和「代數幾何」建立了聯繫， 直接導致了另一門具有重要意義新的學科「算術代數幾何」的誕生。（算數幾何是代數幾何的一個分支，是以數論為背景或目的的代數幾何）

「算術代數幾何」 將幾個看似不相關的數學分支統一了起來。讓數學家意識到或許可能存在一個紐帶，將數學各大分支進行聯繫統一起來。

1967 年的時候，30歲的普林斯頓數學家羅伯特·郎蘭茲曾試探性地給著名數學家韋伊寫了一封信，概述了一個宏偉的藍圖。

朗蘭茲在他的信中提出，數學上兩個差之千裡的分支，數論和調和分析可能是相關的。

在朗蘭茲的信中，他在高斯發現的二次互反律基礎上，提出了更廣泛的延伸。高斯的定律適用於指數不高於2的二次方程。但朗蘭茲認為，在三次、四次等高階方程中產生的質數，應該會與調和分析成互反關係。

調和分析是現代分析數學的核心領域之一，主要研究函數展開成傅立葉級數或傅立葉積分，以及有關這種級數和積分的各種問題。

朗蘭茲綱領就將多項式方程的質數值與分析和幾何學中研究的微分方程的譜相聯繫到一起，並認為這兩者之間應該存在互反關係。因此，我們應該能通過了解哪些數字出現在相應的光譜中，來表示哪些質數出現在特定的情況中。不過這兩組數字不能被直接比較，它們必須都通過不同的數學對象進行翻譯。

朗蘭茲信中包含的思想種子由此萌生成了朗蘭茲綱領。

朗蘭茲綱領指出這三個相對獨立發展起來的數學分支：數論、代數幾何和群表示論，實際上是密切相關的，而連接這些數學分支的紐帶是一些特別的函數，被稱為L-函數。

L-函數主要有三部分內容：解析延拓、零點的分布以及特殊點的值。黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素數定理時,引出了和素數分布有關的復變量的黎曼ζ函數就是屬於L-函數。

對於一個研究對象X 如素數, 伽羅瓦擴張, 橢圓曲線, 代數簇等等, 我們可根據其性質構造出一個復變量的L-函數的解析性質: 零點和極點, 函數方程, 展開係數, 特殊點的值等等, 往往能夠充分反映的算術, 幾何, 或代數性質。

數學界著名的七個「千禧年大獎問題」中有兩個就是關於L-函數的，它們分別是黎曼猜想和BSD猜想。它們的重要性由此可見一斑。

黎曼猜想

所以朗蘭茲認為為L-函數可以充當將各數學分支聯繫一起的紐帶。朗蘭茲提出了怎樣對一般的簡約群的自守表示定義一些L-函數，並猜測一般線性群自守表示的一些L-函數跟來自數論的伽羅瓦群的一些表示的L-函數是一樣的。

這個猜想被朗蘭茲本人和其他數學家進一步拓展、細化，逐漸形成了一系列揭示數論、代數幾何、表示論等學科之間深刻聯繫的猜想。朗蘭茲綱領就是對這些猜想和相關問題的研究。

簡單而言，就是朗蘭茲提出一項雄心勃勃的革命性理論：將數學中兩大分支——數論和表示論聯繫起來，其中包含一系列的猜想和洞見，最終發展出「朗蘭茲綱領」。它是一組意義深遠的猜想， 這些猜想精確地預言了數學中某些表面上毫不相干的領域之間可能存在的聯繫。

而其中如果綱領成立的話，那麼必須成立的數學公式。朗蘭茲把這個結果稱為「基本引理」。

從朗蘭茲綱領提出的那一刻，一代又一代的數學家開始接受並擴展了他的構想。隨著數學家對朗蘭茲綱領的不斷深入，它所涵蓋的領域非常多，許多人相信，只要完成了朗蘭茲綱領中的工作，就可以實現數學的大一統，即實現算術、幾何和數學分析三大核心學科的統一。就數學史而言，這可以說是革命性的。

著名的數學家愛德華·弗倫克爾在菲爾茲獎座談會上曾經說過：

朗蘭茲綱領是一個很廣闊的問題，有許多專家工作於此。但正如我剛才所說，朗蘭茲綱領的思想已經滲透到許多數學領域中。所以有人鑽研數論，或調和分析，或幾何，或數學物理研究不同的對象，但是發現了相似的現象。對於我來說，就是研究同樣的模式怎麼在不同的領域中表現的，從而找到這些領域是怎麼聯繫起來的。這就像我們有一些來自不同語言的句子，我們知道這些句子說的是一件事。我們把它放在一塊，一一對應這些句子的每個單詞，最後我們能編出一本翻譯不同數學領域的詞典。用其他的話說，我們不把朗蘭茲綱領看成數學的「領域」，而是看成「超領域」，因為它橫貫整個數學世界。

懷爾斯對於費馬大定理的成功證明更是讓數學家們看到了朗蘭茲綱領的可行性，安德魯·懷爾斯在上世紀90年代初對費馬大定理的證明。

懷爾斯的證明與其他人的工作一起完成了谷山―志村―韋依猜想的解決。該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關係，證明了谷山―志村―韋依猜想，就證明了費馬大定理。

前者是具有深刻算術性質的幾何對象，後者是來源於截然不同的數學分析領域的高度周期性的函數。而這就來源於朗蘭茲綱領提出了數論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個關係網。

由此，朗蘭茲綱領的影響近年來與日俱增，與它有關的每一個新的進展都被看作是重要的成果。直到如今，朗蘭茲綱領的研究也是數學界的一個大方向之一，許多數學家因為對朗蘭茲綱領的研究取得了突破而獲得了菲爾茲獎。

越南數學家吳寶珠通過引入新的代數-幾何學方法，證明了朗蘭茲綱領自守形式中的「基本引理」而獲得了菲爾茲獎，2009年，美國《時代》周刊將基本引理的證明列為年度十大科學發現之一。

吳寶珠

而幾何和代數大統一研究的最新核心就是 p 進數，即任意給定的素數 p 的替代表示。從一個任意正整數創建出一個 p 進數，就要將這個整數表示成 p 進位的數，然後再反向表達。

少年天才舒爾茨曾用3個學期學完了本科，接著，又用2個學期學完了研究生內容，更可怕的是，他憑藉碩士畢業論文而直接獲得了博士學位！

他通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，並應用於伽羅瓦表示，被人們稱為「代數幾何未來幾十年最具潛力的幾大框架體系之一」。

憑藉著這驕人的成績，舒爾茨 30 歲就獲得了菲爾茲獎，還被譽為代數幾何的上帝——格羅滕迪克的接班人。

我們國家對於朗蘭茲綱領的證明工作也取得了一些成績：

1. 證明了Theta對應的三個最基本的論斷。羅傑·豪爾開創的Theta對應理論有三個最基本的論斷，分別稱為豪爾對偶猜想、重數保守猜想和庫德拉-拉利斯守恆律猜想。2. 完成了重數——猜想的證明，並證明了一系列與此相關的重要唯一性定理。3. 對亞辛群系統研究了跡公式，特別地，建立了亞辛群的跡公式橢圓部分的穩定化。4. 證明了卡日丹和馬祖爾在上世紀70年代提出的一個局部zeta積分非零的假設。

可以說，朗蘭茲綱領為數學界的發展指引了一個方向，對於朗蘭茲綱領的證明將會是一個漫長的過程，如今幾何與代數的大統一就在眼前，未來，數學界真正意義的大一統還會遠嗎？