時間倒回到2018年11月14日的成都七中，中午12:30分，完成了第屆中國數學奧林匹克（CMO）第一天考試的數學好手們春風得意地走出考場，看起來第一天的考試對他們來說只是小菜一碟。
我自然為他們感到開心，但心中也隱約感到一絲不妙，畢竟如此大規模的歡聲笑語顯然是與以往各年的CMO截然不同的，不禁擔心起那些「面目可憎」的命題人為考生們準備了何樣的第二天試題。
不出所料，第二天考完之後，學生們哀鴻遍野，滿腔哭嚎，若把第二天和第一天的兩幕拼在一起，看起來似乎是什麼荒誕的滑稽劇現場。我好奇地把第二天的題目拿來做了做，結果來自第二天的第一題，就是如此的非比尋常：
4. 給定一個長軸與短軸不等長的橢圓。
（1）證明：其面積最小的外切的菱形是唯一的。
（2）寫出用尺規作圖作出這個菱形的過程。
這應當是近年來極其少見地考察了尺規作圖相關的問題，意在考察學生的「基本功」。尺規作圖自然是一個不陌生的話題了，但我們每次提到它的時候，總是賦予了一些「神秘主義」的色彩，不是強調阿基米德、伽利略、牛頓多少多少年沒有研究出成果，就是截取「三等分角不可能實現」等關於尺規作圖的隻言片語。然而對於尺規作圖系統的理論，大多數人卻知之甚少。其實尺規作圖並不神奇，內容也大多不超出中學的理解範圍。為此，愛數競特別準備了兩篇文章，帶大家走進尺規作圖的世界。
相信大家一定聽過這樣一個老掉牙的故事：
1796年的一天，德國哥廷根大學，一個很有數學天賦的19歲青年吃完晚飯，開始做導師單獨布置給他的每天例行的三道數學題，前兩道題在兩個小時內就順利完成了。第三道題寫在另一張小紙條上：要求只用圓規和一把沒有刻度的直尺，畫出一個正17邊形。
時間一分一秒的過去了，第三道題竟毫無進展。這位青年絞盡腦汁，但他發現，自己學過的所有數學知識似乎對解開這道題都沒有任何幫助。困難反而激起了他的鬥志：我一定要把它做出來！
他拿起圓規和直尺，他一邊思索一邊在紙上畫著，嘗試著用一些超常規的思路去尋求答案。當窗口露出曙光時，青年長舒了一口氣，他終於完成了這道難題。見到導師時，青年有些內疚和自責。他對導師說：「您給我布置的第三道題，我竟然做了整整一個通宵，我辜負了您對我的栽培……」 導師接過學生的作業一看，當即驚呆了。他用顫抖的聲音對青年說：「這是你自己做出來的嗎?」青年有些疑惑地看著導師，回答道：「是我做的。但是，我花了整整一個通宵。」
導師請他坐下，取出圓規和直尺，在書桌上鋪開紙，讓他當著自己的面再做出一個正17邊形。青年很快做出了一個正17邊形。導師激動地對他說：「你知不知道?你解開了一樁有兩千多年歷史的數學懸案!阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才!」
原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為失誤，才將寫有這道題目的紙條交給了學生。
不知大家讀到這段故事的時候有什麼樣的感想。我在童年時讀這個故事，腦海裡一直浮現出這樣的畫面：
青年高斯，拿著一把直尺和一個圓規，在一張紙上畫呀畫呀畫，紙張早已被他畫得皺皺巴巴。突然，他在一堆亂七八糟的點中突然標出了十七個點：誒？這不是正十七邊形嗎？
第二天早上，他高高興興地（或者略帶愧疚地？）把這個正十七邊形標出來給老師看，老師看了半天，也不知道畫的是啥，於是問，你能再做一次嗎？高斯就在紙上噼裡啪啦再畫了一次。老師把這張紙拿起來，對著陽光仔細端詳了好久，用自己的鈦合金x眼確認，這確實是個正十七邊形！然後對著高斯就是一頓猛誇……
那時懵懂無知的我，小小的腦袋裡裝著大大的疑惑，果然哥廷根的眼睛和我們常人就是有所不同嗎？那天生近視的我豈不是學習數學無望？於是很長一段時間裡，我都以為飛行員和數學家是兩個與我無緣的職業。
到後來我才明白，原來歷史故事和史實差了十萬八千裡。高斯做的根本不是那麼一回事，正十七邊形也不是用肉眼觀察判定的（鈦合金x眼也不行）。那麼高斯到底做了什麼工作？他難道不是拿著圓規和直尺搗鼓了一晚上嗎？
要理解高斯的工作，首先要明白高斯研究的問題是什麼。在此之前，一個更基本的問題是，尺規作圖是在幹嘛？為此，百度百科給出了以下答案：
尺規作圖，簡單理解起來就是指用直尺和圓規作圖，但此直尺是無刻度的，圓規也無刻度，而且必須是有限次。
承認以下五項前提，有限次運用以下五項公法而完成的作圖方法，就是合法的尺規作圖。
五項前提是：
(1) 允許在平面上、直線上、圓弧線上已確定的範圍內任意選定一點（所謂「確定範圍」，依下面四條的規則）。
(2) 可以判斷同一直線上不同點的位置次序。
(3) 可以判斷同一圓弧線上不同點的位置次序。
(4) 可以判斷平面上一點在直線的哪一側。
(5) 可以判斷平面上一點在圓的內部還是外部。
五項公法是：
(1) 根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線。
(2) 以一個已經確定的點為圓心，以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓。
(3) 確定兩個已經做出的相交直線的交點。
(4) 確定已經做出的相交的圓和直線的交點。
(5) 確定已經做出的相交的兩個圓的交點。
看完之後，相信各位依然是一頭霧水，因為這似乎和數學毫無關聯……眼下的當務之急，是要把尺規作圖這個問題轉化為一個數學的問題。我們關心的事情主要是：尺規作圖能做什麼？不能做什麼？為此，必須要動用解析幾何這一大法寶。
事實的確如此，「尺規作圖」絕不只是做個圖，對尺規作圖的研究，實質上是對代數的研究。
接下來的問題是，尺規作圖這個「計算器」可以完成哪些運算呢？
首先，利用尺規作圖，可以完成數的加減乘除四則運算，加減的運算是顯然的，乘法和除法則需要一定的技巧，咱們先來說說乘法：
那麼除法呢？
其實只需換個思路，用相交弦定理即可：
有了加減乘除之後，乘方自然也不成問題，那麼反過來，開方呢？
開方當然也可以！這裡我們用射影定理證明之。
這樣一來，尺規作圖可以完成數的加減乘除和開方五種運算。更進一步，尺規作圖可以重複進行，因此，任何可以通過若干個用有限次加減乘除和開方算出的實數，都可以用尺規作圖做出。
那麼，尺規作圖還能算別的數嗎？
很遺憾，答案是不行。直觀上來看：我們能找到的數，本質上都是點與點之間的距離；而點的產生，本質上都是直線與直線、直線與圓或圓與圓的交點。而早在小學二年級我們就知道，直線是一次曲線，圓是二次曲線，無論怎麼交，基本上也就是去求二次方程的根，而兩點間距離同樣也不超出開方的範圍，因此尺規作圖好像只能完成這些運算了。
至此，我們已經可以完全扔掉手裡的直尺與圓規了。「尺規作圖能畫什麼圖」的問題，已經完全轉化為了「加減乘除開根五種運算能夠算出什麼數」的問題。而高斯的關於正十七邊形可以尺規作圖的證明，正是在這樣一個基礎上開始的。
搞清楚尺規作圖的本質之後，接下來我們就要來研究，高斯是怎麼證明正十七邊形可以被尺規作圖作出的。事實上，尺規作圖作出正十七邊形的秘密，全都藏在下面這個代數式裡：
所以高斯他老人家挑燈夜戰一晚上，就算了這麼個數？這看起來也不是很……等等，這到底是怎麼算出來的？
事實上，咱們也根本沒必要算出這個數，當年高斯他老人家多半也沒算出這個數。在這裡，有一套更便捷的方法，更加反映了代數的本質。
這樣一來，我們總算是圓滿解決了正十七邊形的繪圖問題！
當然，一個問題的結束往往意味著另外一個問題的開始，例如尺規作圖能作出哪些正多邊形？又有哪些不行呢？以及經典的尺規作圖三大難題：三等分角，倍立方，化圓為方為什麼沒法實現？這些有趣的部分將有待我們下回探討。
在文章的最後，讓我們欣賞一下正十七邊形是如何畫出的吧：
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作者：張峻滋 畢業於北京大學數學科學學院 曾獲CMO金牌