畢業班學法003：用四步模型法解決圓柱表面積問題
溧之道
解決有關圓柱體表面積的問題，是小學數學學習中的重難點，特別煩心，非常容易出錯。從學生的心理角度分析，問題出在學生對表面積的組成思路混亂，導致解題中混淆側面積（無底）、總面積（有底無蓋）、表面積（有底有蓋）概念，張冠李戴，圓周長和圓面積不分。
長期的教學實踐表明，給學生指明解題方向，明確解題路徑，可以有效地形成思維模型，難點易於化解。
問題003：一個有蓋的圓柱形鐵皮盒子，底面直徑是12釐米，高是15釐米。它的側面貼一張商標紙，商標紙的面積是多少？做這個鐵皮盒子至少需要多少鐵皮？
優生答案：
①3.14×12＝37.68（釐米）。②37.68×15＝565.2（平方釐米）。③3.14×（12÷2）＝3.14×36＝113.04（平方釐米）。④565.2＋113.04×2＝565.2＋226.08＝791.28（平方釐米）。答：商標紙的面積是565.2平方釐米。做這個鐵皮盒子至少需要791.28平方釐米鐵皮。
你在閱讀這種答案的時候，感覺到累，因為每一步求的是什麼問題，需要讀者去思考，讀者不能一目了然地觸摸答題者的思路。
學霸答案：
學霸在優生答案的基礎上，加上了每一步算式求的問題。增加了①底面周長：②側面積：③底面積：④表面積。
商標紙的大小就是圓柱的側面積。鐵皮的面積就是圓柱的表面積。長期這樣解題，思路清晰，明明白白，學習能力易於生長。
狀元答案：
c＝πd，側面積＝ch，s＝πr，表面積＝側面積＋2s（由於頁面不能呈現帶下標的符號，公式難於規範書寫。）。後面寫的和學霸答案一致。狀元寫出了公式，就確定了數量關係，做到解題有依據，解題思想明明白白。
狀元探究：
①涉及到圓柱的面積問題，關係到側面積和底面積。側面積是用底面周長乘高得到的，表面積是用側面積加上兩個底面積得到的，因此，解題思路有固定的思維模型：底面周長——側面積——圓面積——表面積，正常的學生都能接受這種思維定式。
②確定了解題模型後，如果遇到圓柱只有側面，沒有底面，模型就縮減到沒有③④步。如果圓柱沒有蓋，四步不變，最後一步變成總面積＝側面積＋s。
③圓柱沒有底面，表面積改說成側面積。圓柱無蓋，只有側面和一個底面，表面積改稱總面積。當圓柱體的側面、上底和下底都有，才稱圓柱表面積。
④求圓柱的表面積，數量關係可以演繹成s＝2πr（h＋r）。推導過程：s＝ch＋2πr＝2πrh＋2πr＝2πr（h＋r）。簡言之，圓柱的表面積等於底面周長乘高和半徑的和。
⑤問題中的「至少」，是一種理論計算，沒有考慮做圓柱盒子的接頭問題。實踐中做圓柱體盒子用的鐵皮比計算出來的面積要大。
以上介紹了四步求圓柱表面積的解題模型（方法），並推導出用2πr（h＋r）的公式求圓柱表面積。養成了優秀的解題習慣後，即使是比較難的關於圓柱表面積的問題，也可以舉一反三，輕鬆解決。
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