中考數學專題系列六十四:不等式(組)中,知整數解個數求範圍

2021-01-07 中考數學指路燈

中考數學專題系列六十四：不等式（組）中，知整數解個數求範圍

作者 卜凡

不等式（組）中，知整數個數求取值範圍的問題可以說是最難、最容易出錯的問題，難點是理解問題，易錯點是等號的放置問題，針對這種情況，特介紹一種解決問題的方法，希望幫到大家。請看例題（要求先獨立解答）。

例題1、已知關於x的不等式-x-2k＜3隻有兩個負整數解，求k的取值範圍。

分析：解答這類問題的思維過程是「解→列→解」。（1）解。解關於x的不等式-x-2k＜3，得x＞-2k-3。（2）列。這是非常關鍵也是非常重要的環節，說這類題難、易出錯，就是在這個環節上理解困難、等號放置出問題。第一步，確定-2k-3在哪兩個整數之間。看這道題，「只有」兩個負整數解，有「只有」兩個字，說明這兩個負整數解只能是x=-1、x=-2，而x＞-2k-3，說明-2k-3在-3與-2之間，如若-2k-3＜-3，則負整數解的個數會多於兩個，如若-2k-3＞-2，則負整數解的個數就會少於兩個，從下圖也可直觀地看出，這兩種情況都不符合題意。

第二步，確定「=」號的放置位置。確定好了-2k-3在-3與-2之間，現在再來研究等號「=」的放置位置問題。？這就是關鍵了，可以採取「試一試」的方式，當-2k-3=-3時，有x＞-3，這樣x=-1、x=-2在這個範圍內，所以-2k-3=-3成立；當-2k-3=-2時，有x＞-2，這樣x=-2不在這個範圍內，所以-2k-3=-2不成立；從下圖也可直觀地看出，綜上得出-3≤-2k-3＜-2。

（3）解。解不等式-3≤-2k-3＜-2，得-1/2＜k≤0.

現在把例題1中的「＜」號改為「≤」號，結果如何呢？例題2、已知關於x的不等式-x-2k≤3隻有兩個負整數解，求k的取值範圍。

分析：與例題1相同，依然是「解→列→解」。（1）解。解關於x的不等式-x-2k≤3，得x≥-2k-3。（2）列。第一步，確定-2k-3在哪兩個整數之間。因為關於x的不等式-x-2k≤3①只有②兩個③負整數解，所以這兩個負整數解一定是-1、-2，所以-2k-3在-3與-2之間。第二步，確定「=」號的放置位置。若-2k-3=-3，則x≥-3，這時的負整數解就是x=-3、-2、-1，共三個了，不符合兩個的條件，所以-2k-3=-3不成立，這時就可斷定-2k-3=-2成立（理由同上，以後判斷一次即可）。於是列出不等式-3＜-2k-3≤-2.

（3）解。解不等式-3＜-2k-3≤-2，得-1/2≤k＜0。

總結：觀察例題1、例題2的結果「-1/2＜k≤0」、「-1/2≤k＜0」，是不是有點不同呢？這正是大家易錯的地方，切實引起重視。

例題1、例題2是關於不等式的，那如果已知不等式組的整數解的個數，如何求待定係數的取值範圍呢？請看例題3

分析：以第（1）小題為例，其它同理，不再詳述。依然是「解→列→解」。先解不等式組，得-2k-3＜x＜0，根據題意，原不等式組有兩個整數解（只能是-1、-2），於是可列出不等式-3≤-2k-3＜-2，解這個不等式，得-1/2＜k≤0。（2）、（3）、（4）的答案見下圖。

通過本文的學習，大家已經總結出了「不等式（組）中，知整數解個數求範圍」的類型題，解題思路是「解→列→解」，關鍵環節在於「列」，理解等號「=」應該放在什麼位置，真正掌握此類型題的解答方法。

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