三大不可能的作圖問題

三大不可能的作圖問題

　　數學的美不在於它的答案，而在於它的方法．存在著這樣的問題，它的解答就是最終被判定為不可解．

　　不知什麼緣故，「不可解」似乎像是一個令人失望的答案，然而用以抵達這一結論的思維過程卻是極具魅力的，而且在這一進程中還能激發出新的思路．古代著名的三大作圖問題便是一個例子．三大作圖問題是：

　　三等分角問題——把一個給定的角分為三個相等的角．

　　倍立方問題——作一個立方體使其具有給定立方體兩倍的體積．

　　化圓為方問題——作一個正方形使其具有給定圓的面積．

　　這些問題在兩千多年的時間裡，一直激勵著數學的思維和發現，直至19世紀，這三個作圖問題才被最終證實為不可能只用圓規和直尺作出．

　　上述結論可以這樣推知：一根直尺可用於作直線，其方程為線性的(一次方程)，例如 y＝3x－4等等．另一方面，一隻圓規能作出圓和弧，其方程為二次的，例如x2＋y2＝25等等．而這些方程的聯立不會產生高於二次的方程．然而從代數上看，解上述三個作圖問題所獲得的方程並非是一次或二次的，而是三次或者是帶有超越數的，而這樣方程的解或數隻用圓規和直尺是無法得到的．

　　三等分角問題：

　　像135°或90°這樣的特殊角只用圓規和直尺是能夠三等分的．但對於任意給定的角，只用圓規和直尺要三等分則不可能，因為用來解這個問題的方程顯示為三次的形式：

a³-3a-2b=0．

　　倍立方問題：

　　在試圖將一個立方體體積加倍的努力中，曾有人嘗試將其長度加倍，然而這樣實際上作出了一個八倍於原立方體體積的立方體．

　　需要加倍的那個立方體體積=a³．

　　將該立方體的體積加倍，即要求作出一個體積為2a³的立方體．

　　

　

　　我們再次得到一個只用圓規和直尺無法作出的結局．

　　化圓為方問題：

　　給出一個半徑為r的圓，其面積為πr²．

　　我們要求的是作出一個面積為πr²的正方形．

　　

　

　　由於π是一個超越數，它不可能通過有限步驟的有理運算和求方根的辦法表示出來，從而只用圓規和直尺也不可能將一個圓化為等積的正方形．

　　雖然我們看到以上三個作圖問題只用圓規和直尺是不可能作出的，然而人們卻創造了不少解決它們的精巧方法和設計．後者對於激發數學思想的發展，同樣起著重要的作用．尼科梅德斯蚌線、阿基米德螺線、希庇亞斯割圓曲線、圓錐曲線、三次曲線、四次曲線以及一些超越曲線，都發端於這古代三大作圖問題的某些思考．