從融合到創新：基於GeoGebra的數學深度教學
羅建宇面對「怎樣培養人」、「如何讓核心素養落地」等關鍵問題，數學課堂教學變革需向縱深推進，以深度教學為抓手，讓學生的深度學習真正發生在數學課堂之上．鑑於高中數學學科的抽象性與概括性，為實現數學課堂教與學的複雜性互動，讓學習在抽象的數學與生動的現實間構建聯繫通道，高中數學教學離不開現代教育技術的支持和助力．本文以GeoGebra為例，談談如何創生追求品質與意義的深度教學課堂，促進學生的深度學習，發展學生的數學學力．
1．GeoGebra與深度教學
問診我們的數學課堂，常常可以見到一些現象：課堂熱鬧活動多樣，數學的思考卻淹沒在花樣翻新的形式中；教者不講道理，跳過概念生成直接變式應用；學者不求甚解，簡單模仿（甚至死記硬背）學習數學；滿足於數學知識與技能（經驗）的簡單積累，卻沒有將碎片化的知識點聯繫起來考察，整體性的認識更無從談起；…這樣的教學弊端歸結於一點，就是缺乏深度，直接導致學生體驗不深切、思維不深入和理解不深透，自然難以對學生的學習與發展產生深遠的影響．
於是，走進學生情感和思維的深處，觸及學科本質與知識內核，離不開深度教學．何為深度教學(DeepTeaching)，學界並沒有統一的認識，綜合文[1]-[4]的觀點，我們以為深度教學強調的是對教學內容全面且深刻的理解，追求的是師生間的深度交流和對話，指向的是學生思維和情感的深度發展．而聯繫到「深度」一詞的本意，是「觸及事物本質的程度，或事物向更高階段發展的程度」，本文將深度教學界定為，一種反映學科本質、推動學生認知從表層結構進入深層結構的教學，一種能夠吸引學生深度參與其中思考學科問題、生成學科思維的教學．
具體到數學學科而言，深度教學首先體現在知識內容的呈現上要觸及數學的本質，即展現概念、原理的發生、發展過程，讓學生知其然更要知其所以然；同時注重知識間的橫向、縱向聯繫，把握知識、方法、思想之間的關係，「置知識於系統之中，讓所學知識牢不可破」；更為重要的是，深度教學要激發學生的數學學習熱情，讓學生從數學學習過程中獲得樸素而廣泛、深厚而靈動的數學思想，學會數學地思維，即「以深刻的思想啟迪學生」，而這其中特別重要的4個環節，包括聯繫的觀點，問題引領，交流和互動，努力幫助學生學會學習[5]．顯然，這樣的深度教學很難為傳統的「一支筆一塊黑板一張嘴」的教學手段所能承載，於是「運用現代技術手段，把現代技術作為學生學習和解決數學問題的強有力的工具」便成了數學深度教學的必然選擇．
作為一款「專為教與學的動態數學軟體」，GeoGebra實現了「形」（幾何Geometry）與「數」（代數Algebra）的完美融合，代數運算系統（CAS）的完美嵌入為數學探究提供無限可能，指令輸入和工具構造讓動態演示過程更加生動，多模塊區域間的關聯互動保證高中數學內容的全面覆蓋．GeoGebra帶給我們的，不僅是更加方便快捷的數學，更是理想的深度學習平臺和深度教學工具．它為我們提供了「多元聯繫表徵」的學習環境，可以將抽象的數學知識直觀化，使數學的關聯性變得可見甚至可操作，從而能深入學科內部，幫助學習者洞悉數學本質；它能構建「抽象的數」與「可見的形」之間的聯繫通道，幫助學生超越表層知識符號的學習，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，體現「數學是清楚的、自然的、水到渠成的」；它能突破數學「難以意會，無法言傳」的障礙，實現以思維的分析帶動具體知識和技能的學習，真正做到「教懂、教活、教深」；它操作簡單即學即用，能夠真正交到學生手中（不限於計算機操作，在平板電腦、智慧型手機等移動終端上也能流暢運行），提高學生學習的積極性和參與度，從而真正促進學習方式的變革．
2．數學深度教學的實施策略
數學可以在學生的內心深處培植理性的種子，開展深度教學的意義恰在於此．通過創設真實的學習情境，吸引學生參與其中，深入思考學科問題；構建靈動的數學資源，推動學生數學理解的同時，引領數學思維從表層進入深層；開展多樣的實驗探究活動，在經歷「數學化」的過程中，觸及數學內核；結合主題單元教學，從更廣泛的角度聯繫分析問題，在數學內涵的不斷追問中，學會嚴謹、審慎地看待問題、理解世界．
2.1 情境創設，走進思維深處
我們知道，離開了師生間真正的情感交流和思維碰撞的課堂，即便學到更多的方法、考到更高的分數，也難以引發學生的共鳴，更談不上「心嚮往之」．正如德國哲學家雅思貝爾斯所言，「教育就是一棵樹搖動另一棵樹，一朵雲推動另一朵雲，一個靈魂喚醒另一個靈魂．」知識和技能只有進入學生的情感和思維，凝聚為個體生命的智慧和精神時，才有可能在學生心靈深處相遇、融匯．於是深度教學需要創設真實靈動的情境，以境啟知由知怡情，走進學生心靈深處，以深刻的思想啟迪學生．
案例1 函數周期性的教學
「周而復始」的變化規律可以用周期性這個概念來實行定量的刻畫，然而學生對於周期T和周期函數的概念理解需要一個過程．於是需要創設情境，呈現足夠豐富的樣例，讓學生有機會經歷從「形」的認識到「數」的刻畫的過渡；而創設情境時，不僅限於簡單的基本三角函數，如y=sinx，y=cosx等，還要有相對複雜的函數（只限於圖形的認識，暫不涉及具體周期的求解），如h(x)=2sin(3x)+cos(2x)等．從簡單到複雜的過渡，可以保證學生對周期性有全面而深刻的認識．事實上，周期性並不只是三角函數所獨有的，在經歷周期性的學習後，可藉助於軟體來構造一些函數，這對學生的深度理解是不可或缺的．
情境在數學學習過程中有著極其重要的作用，藉助於現代教育技術創設靈動的數學情境，為學生的數學理解構建一條件場域，為真實的數學學習行為開闢路徑、啟發思考，從而保證我們的教學真正走進學生情感和思維深處．當然，數學情境不僅是數學知識產生的背景，也內嵌有數學思想方法的表達；它不僅能激發數學問題的提出，也能為數學問題的解決提供信息和依據[6]．這樣的情境創設自然離不開教師對教與學的「意義」的追問和找尋．
2.2 聯繫表徵，促進深刻理解
促進深刻理解，需打開學生學習與發展的內部轉換通道，一方面，要推動學生的學習認知從感性走向知性和理性，即從表面的模糊的認識走向事物聯繫和事物本質的把握和判斷，從外部的操作感知走向內部的理解認知．另一方面，要實現數學對象的多元聯繫表徵，因為數學概念的抽象概括性決定了單一表徵往往難以充分揭示數學本質，而高中學生數學學習困難的一個重要原因就是對問題不能做出適宜的表徵、不能在多種表徵之間進行轉換，從而深度教學就要凸顯多元聯繫表徵的優勢，幫助學習者實現各種表徵形式的操作與轉換．
如前所述，GeoGebra可以輕鬆實現數與形的「聯繫表徵」，讓數學的關聯性變得可見可操作，促進深刻理解．以線性規劃為例，代數區中的不等式與繪圖區中的可行域直接對應，從而為探索兩者之間的關聯提供了非常方便的實驗平臺．
案例2 阿波羅尼圓的深刻理解
我們知道，到兩定點A、B的距離之比為定值t(≠1)的動點P軌跡為圓（通常稱之為阿波羅尼圓，簡稱阿氏圓）．對於阿氏圓的理解，不應僅限於代數推演的方式確認，而應想法讓學生「看見」真實的圓，從而認識到阿氏圓以MN為直徑（M、N為直線AB上的兩定比分點）而非AB，這樣可以用特殊法確定阿氏圓方程．然而更深刻的問題是，定值t是如何影響並決定阿氏圓的形狀大小的．於是有必須做進一步的探究（通過軟體拖動滑動條，改變t的值）：當t∈(0,1)，阿氏圓偏向A點一側（A在圓內B在圓外），隨著t的不斷增大，阿氏圓從A點往外擴張發散（半徑增大）；當t∈(1,+∞)時，阿氏圓偏向B點一側（B在圓內A在圓外），隨著t的增大，阿氏圓逐漸往B點處收斂縮進（半徑減小）．通過這樣的動態探究可以看到阿氏圓的全貌，即從A點處生長到B點處消亡、從偏A一隅逐漸擴張到居B一側逐漸收縮（其中的分界恰為t=1時的垂直平分線，可謂涇渭分明）．既可以從整體上聯繫思考把握阿氏圓的變化特徵，也可幫助學生在具體問題求解時迅速確認阿氏圓的位置形狀．
藉助數學軟體開展數學探究，可以實現同一數學對象的不同表徵方式的多元呈現，不但可以讓學生感受數學的「美」（美妙），更可創設情況體會數學的「真」（真實）；當然推動學生的深刻理解，需要關注不同表徵形式的「同現」，更要重視有內在聯繫的「共生」，以此達成表徵系統內轉換與系統間轉譯的「水到渠成」．
2.3 實驗探究，推動自主發現
教是為了學，深度教學需要為學生打開一扇窗戶，讓學生透過這扇窗戶，去發現無限的世界．而推動學生自主發現離不開數學實驗的土壤，通過實驗手段來學習、驗證和發展數學，可以將抽象的結論寓於其中，使學生經歷一個從具體到抽象的過程，從而見到數學的全貌；在問題的發現、方法的形成、知識體系的構建過程中，讓學生感悟蘊含其中的數學思想和數學方法．
案例3 二分法求方程近似解的實驗探究
掌握算法的關鍵在於算理的思考，如果只是採用「告訴」的方式教學，精妙的數學思想只會淹沒在繁雜的形式演算之中．讓學生在軟體界面上自行選擇方程和初始有解區間（以方程x3-3x+1=0和初始區間(1,2)為例），面對長度遞減的系列有解區間：(1,2)→(1.5,2)→(1.5,1.75)→(1.5,1.625)→(1.5,1.563)→(1.531,1.563)→(1.531,1.547)→…二分的含義自然可以「呼之欲出」，而方程近似解也在「不言中」．事實上，這樣的實驗可以簡單重複，面對豐富的素材和樣例，學生自然會追問如何二分、為何可以二分，查看相應數學對象的屬性，「零點存在定理」便可以「浮出水面」．
藉助於數學實驗，讓學生親歷數學知識的建構過程，在「做」中理解數學、發現數學，而不是簡單的應用數學解決問題，可以讓原先枯燥無味的數學公式、數學概念、數學定理變得鮮活起來；正是有學生的親身參與，這樣的教學更能走進學生的內心深處，從直觀、想像到猜想、發現，「做」數學的過程中豐富感知，在直觀感知的基礎上建立表象，在表象提取與運用中發展想像．值得說明的是，GeoGebra創設的實驗素材不僅可以發送給學生，也可直接發布到網上，這樣學生可以隨時隨地使用任何終端開展實驗探究．
2.4 聚焦主題，觸及本質內涵
只有從更廣泛的角度，也即用聯繫的觀點進行分析思考，才能達到更大的認識深度；反之，也只有達到了更大的認識深度，才能更好發現不同對象之間的聯繫[5]．於是深度教學要求我們應跳出各個細節從整體上進行分析思考，用整體性認識指導各個具體內容的教學，通過「結構性教學」幫助學生學會「結構性思維」．這就需要教師有一個整體的大單元觀，能夠按照邏輯的順序（由簡單到複雜、由低維到高維）把握各個相關內容，並通過數學知識的整合和教學內容上的有意義連結開展主題教學．如果將日常教學中的每個課時理解為一個一個點的話，那麼「大單元」就是一條主線、一個面，而主題教學的任務則是結點成線，將無數個小點聯貫起來形成結構和體系．
主題教學要求教師能從一節一節的教學中跳出來，整體把握數學課程．這樣的主題單元概念可以出現在章首語的教學中，如教學三角函數時，可以通過案例1幫助學生認識「三角函數是描述客觀世界周期性變化規律的重要數學模型」，同時也將後階段學習的角的概念推廣、三角變換等納入到函數研究的框架中（作為必要的知識準備而進行的概念推廣），當然也可以體現在章節複習課中．當然主題單元更多的體現在章節內容學習過程中，以某段重點或關鍵內容為依託，聯繫相關知識點進行縱向和橫向的融通，既可以以數學中通性通法、數學思想為單元，如「函數方程思想」，也可以以重要的教學主線為單元，如「數的概念推廣」．
主題教學是進入深度教學的核心．一方面需要教師本身必須對於相關內容有深刻的理解，不僅能夠準確把握相應的「核心內容」，還要有整體的大知識觀；另一方面，在內容設計時，要基於學生已有認識，符合螺旋上升的認知發展規律，處理好細節與整體、「生成」與「再認識」等關係．
3．從融合走向創新的思考展望
深度教學是培養學生核心素養的有效路徑，也是當下課堂教學改革向縱深推進的實質與方向，然而知易行難，要真正觸及學科本質推動學生認知走向深層談何容易；另一方面，「重視信息技術運用」已是共識，但如何「實現信息技術與數學課程的深度融合」卻是舉步維艱．而技術應用與深度教學的結合，恰可以讓我們「豁然開朗」，不僅深度教學有了切實的抓手，而且技術應用也煥然一新，從融合走向了創新．
3.1 技術融合，開展深度教學的必然選擇
深度教學要求反映學科本質，然而數學對象之間嚴格的數量關係和幾何關係、運動與變化中的數學規律等本身就難以把握，更何況要跳出細節從整體上思考、學會「結構性思維」，於是藉助技術的表徵優勢，為概念理解創設背景，為規律探索啟發思路，為問題解決提供直觀，如案例2可以幫助學生從單個的阿氏圓認識中跳出來整體思考，從而建立定值t與阿氏圓的直接聯繫，在認識全貌的同時保證具體問題解決時的快速定位．事實上，技術的應用不僅限於為深度教學提供資源，它還推動數學學習方式的轉變，案例3告訴我們，技術本身就是數學，可以將「向書本學習數學」變為「向技術學習數學」，數學實驗的開展正可以促進學生的自主發現和真正理解，從而技術支持下的教學環境為學生「沉浸」於學習提供支撐．
3.2 深度教學，創新技術應用的應然方向
技術應用固然可以改進我們的教與學，但技術本身只是工具，發揮技術的教育價值離不開深度教學的理念指引，而從促進學生對數學本質的認識和數學思想方法的感悟出發，恰可以為我們帶來技術本身的創新應用．如案例1中所以想到構造周期函數，也是基於深度教學的需求．事實上，幫助學生理解數學本質、促進學生高水平思維參與，就不能停留於抽象概念的簡單具象化呈現，而需要從具體教學內容出發，研究學生的認知難點和技術優勢，明晰技術具體用在哪裡、如何使用、為什麼要使用，進而設計環節、架設橋梁以啟發思維，或理解數學內容，或探索、發現和解決問題．所以說，正是有了深度教學的方向引領，有了對「技術」、「設計」和「學習」的意義的不斷追問和深刻理解，我們便能為技術賦予應有的教育價值，從而為創造性地應用技術開闢道路．
「以深刻的思想啟迪學生」，讓我們的課堂散發應有的魅力，離不開教師自身的深度研究（研究數學、研究教學、研究學生、研究技術），唯有對學科內容的全面深刻理解才能有課堂教學的「深入淺出」，唯有對學生學情的深度追問才有課堂教學的「指點有方」，唯有對技術應用的創造性理解才有課堂教學的「遊刃有餘」，基於此我們需要「簡單問題，深度思考，心往高處，行向遠方」．
參考文獻
[1] 郭元祥．知識的性質、結構與深度教學[J]．課程·教材·教法，2009（11）：17-23．
[2]李松林.深度教學的四個實踐著力點——兼論推進課堂教學縱深改革的實質與方向[J].教育理論與實踐,2014,34(31):53-56.
[3] 羅祖兵.深度教學:「核心素養」時代教學變革的方向[J].課程.教材.教法,2017,37(04):20-26.
[4] 黃祥勇.數學核心素養導向下的深度教學[J].數學通報,2018,57(07):29-32+63
[5] 鄭毓信.「數學深度教學」的理論與實踐[J].數學教育學報,2019,28(05):24-32.
[6] 張志勇.高中數學可視化情境的設計原則及實施路徑[J].數學通報,2019,58(03):15-19+24.