樹狀圖解題助你一臂之力

是計數當中比較難的內容，涉及到一些排列組合數公式往往要具備比較深的數學基礎知識。孩子們大多知難而退，甚至對一些一般的題目也失去耐性，自暴自棄。

這些公式只是解題中重要方法，但不是唯一方法。這裡給大家展示樹狀圖的方法，不僅給出一些看似無法下手題目的處理思路，更希望能讓大家建立起對計數知識的信心，體會思考的樂趣，而不是「望難卻步」。

例1：某城市有A、B、C三個遊玩景點，樂樂去該城市度假一周，要求第二天必須和前一天遊玩不同的景點。問：周一在A景點、周五又恰好在A景點的遊玩方式有多少種？

解析：

周五要回到A景點，那麼：周四就不能在A景點，

這裡樹狀圖迴避了周四在A景點的情況，

從右圖可以數出，一共6種遊玩方式。

雖說都是「數數」，

但是過程偏多的情況下特別容易出錯，

更重要的：

樹狀圖，把情況清晰的枚舉出來，方便驗算！

例2：甲、乙、丙、丁四名同學排成一行，從左到右數，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那麼共有多少不同的排法？

這道題很多同學想到容斥原理：

先四個人任意順序排列，

之後再減去甲在第一位置，減去乙在第二位置，

減去丙在第三位置，減去丁在第四位置上的情況。

問題是這四種情況是有交集的：

（全排列當中，有甲在第一位置且乙同時在第二位置上的情況，對於這一種情況，會進行多次相減）

如上圖，我們在畫樹狀圖枚舉的時候，不符合某一步驟的「樹杈」直接砍掉，整個圖像和情況都非常清晰，便於驗算回顧。同樣，第一個位置還有可能是丙和丁，下面我們同樣用樹狀圖解題，總情況很容易得到：9種排法。

例3：把9個相同的小球放入編號分別為1，2，3的三個箱子中，要求每個箱子放球的個數不小於其編號數，則不同的放球方法有多少種？

解析：由題意可知在編號為1的箱子中放球的個數應該為1個，2個，3個，4個，四種情形（不小於編號1，且餘下球至少要5個）則類推得如下樹形圖：可知放法共4+3+2+1=10（種）

樹狀圖解題是一種應用性很強的圖解法。它蘊涵著分類討論、數形結合、枚舉的思想。能把問題情境表現得一目了然，很好的把我們思維展現在紙面上，可以不重不漏地把握問題。所列情況歷歷在目，更方便去驗算檢查。

作業：同宿舍四人各寫一張賀年卡，然後把寫的賀年卡集中起來，接著每人從中拿出一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方法有多少種？

解析：

孩子們，這道題讀的熟悉嗎？

和我們的例2是一致的！

例2是甲、乙、丙、丁不能在對應的一、二、三、四這四個位置，

這道題是甲、乙、丙、丁不能拿自己做的賀卡（自己的賀卡相當於放在桌子上的「特定位置」）。

道理是一致的，希望大家對類似的題目多思考，讓樹狀圖解題成為一種思維工具。考慮問題或者應對考試時能助大家一臂之力！

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