2018高考數學100彈之第28彈:y=sinx、y=cosx以及y=tanx的圖象與性質

       y=sinx、y=cosx以及y=tanx的圖象必須能達到隨手就畫出來的地步，性質就通過看圖象來記憶，具體的性質我就不贅述了，圖象如下：

       要注意y=sinx和y=cosx在[0,2π]的交點橫坐標為π/4和5π/4；y=sinx和y=tanx在原點處的切線為y=x，在0<x<π/2時，sinx<x<tanx.

練習1：

答案：C D A

分析：

       這三道題是同一個考法：和上述三個函數有關的分段函數，都是畫圖來解決問題.第一個和第三個的圖象如下：

       上面第二個圖一看就不招人待見，甩一副囧臉給誰看？

練習2：

答案：(-∞,2], C

分析：

       上述兩題都是三角函數和二次函數的複合問題：

       第一個可以直接求導得到f'(x)=-2sin2x+acosx(注意文科同學不會直接求cos2x的導數，那就用二倍角公式打開來求），只需要a≤4sinx在(π/6,π/2)恆成立，所以a≤2.

       也可以由f(x)=-2(sinx)^2+asinx+1，利用複合函數求單調性的同增異減的原則，只需要a/4≤1/2即可.

       第二個求導得到f'(x)=1-2(cos2x)/3+acosx=-4[(cosx)^2]/3+acosx+5/3，設cosx=t，即函數g(t)=-4(t^2)/3+at+5/3≤0在[-1,1]恆成立，只需要g(-1)≤0,g(1)≤0即可.

練習3：

答案：B

分析：

       由符號可以排除A，由奇偶性可以排除C，B和D中，需要求導來判斷，f'(x)=cosx-(cosx)^2+(sinx)^2，正常我們需要求原函數的單調區間來判斷，但是由f'(0)=0,可知圖象在原點與x軸相切，所以選B.

練習4：

答案：C

分析：

       這題不用畫圖，有點類似之前介紹的奇偶函數相乘之後的結論「奇奇得偶，奇偶得奇」，當然也可以直接從對稱和周期的代數表達式入手，由f(2π-x)=-f(x)可得A正確；由f(π-x)=f(x)可得B正確；由f(-x)=-f(x)以及f(x+2π)=f(x)可得D正確；至於C,直接求導或者換元構造三次函數求導即可，當然作為小題是沒有先看C的必要.

練習5：

分析：

       第(1)問文科不作要求，最近的理科試卷數學歸納法考查的很少，但是不代表數學歸納法是不重要的方法，我們不用花大量時間去訓練，但是最起碼的步驟還是得掌握好.

       而第(2)問，是一道函數不等式問題，這個不等式有高等數學的背景：泰勒展開式，這個問題我沒有作專門的說明，是因為我覺得意義不是很大，大家也沒必要專門去研究這個.

練習6：

分析：

下面是高考答案的給法：

       其中第二問的配方以及那個放縮有點困難，可能大家沒有頭緒，其實函數f(x)=sinx/(2+cosx)的圖象和性質與y=sinx非常像，其導函數f'(x)=(2cosx+1)/(2+cosx)^2，其導函數的導函數f''(x)=2sinx(cosx-1)/(2+cosx)^3，所以f(x)在[0,π]的導函數遞減，圖象為上凸，在[π,2π]導函數遞增，圖象下凸，如下：

       y=x/3是函數y=f(x)在原點處的切線.

       我們可以通過二次求導避開上述的放縮方法，具體我們在通過多次求導避開放縮問題中介紹過，在此就不贅述了，