特殊的行列式有很多,本文將對一些常用到的、用於計算行列式值的特殊行列式進行解釋和應用,這些特殊行列式包括三角行列式、範德蒙行列式、奇數階反對稱行列式、形似三角行列式的分塊行列式。本文重點講述前三種行列式。
1.三角行列式
根據對角線位置的不同,可以分為主對角線三角行列式和副對角線三角行列式。
主對角線(或副對角線)三角行列式又根據零元素所在位置分為上三角行列式和下三角行列式。具體示意圖如下:
對於三角行列式,一個非常容易混淆的概念是上三角行列式和下三角行列式。上三角行列式是對角線下方的元素全為零,下三角行列式是對角線上方的元素全為零!
證明三角行列式的計算公式很簡單,小編以副對角線為例進行證明。下面是具體的證明過程:
三角行列式的應用非常廣泛,因為它提供了一種計算行列式的有效方法:即將一個複雜的行列式通過初等變換,將之化為上三角或下三角行列式,然後根據公式即可快速求得行列式的值。
小編在這裡就不舉例進行說明了,因為大家在做題過程中能經常用到三角行列式。只是一定要注意的一點是,再將複雜的行列式通過初等編換轉化為三角行列式的過程中,一定要養成標註的習慣,即標明如何這這個行列式轉換到下一個行列式的!
2.範德蒙行列式
範德蒙行列式的重要特徵是,第一行(或第一列)元素全為0,且每行(或每列)的元素構成等比數列,其形式如下:
範德蒙行列式的證明可以通過行列式的初等行(列)變換,將之化為三角行列式來證明,此處證明從略。
題目往往不會直接給出一個完全符合範德蒙行列式形式的行列式,讓大家去計算該行列式的值,因為這種不拐彎的做法明顯是輕看大家了!
一種常見的類似範德蒙行列式形式的行列式如下:
對於這類缺行(列)的類似範德蒙行列式而言,可以通過添加輔助行和輔助列進行求解,具體過程如下:
通過添加輔助行和輔助列,使得行列式變為標準的範德蒙行列式。此時,如果將m視為一個變量,那麼上述行列式對輔助列進行展開,那麼就會得到一個關於m的多項式,具體過程如下:
當化簡道上面這一步時,剩餘的工作就是細心和耐心了!有興趣的同學可以自行化簡。
3.奇數階反對稱行列式
反對稱行列式,就是主對角線兩側元素關於主對角線反對稱,且主對角線元素為0。
對於奇數階反對稱行列式,其值為0。證明從略。
需要提醒一點的是,對稱行列式的主對角線元素不需要一定為0!
當然對於奇數階反對稱行列式的這條性質,練習和真題中都沒出現過,大家可以稍微了解下,知道有這麼個性質就行!
在特殊行列式中,還有一種就是分塊形式的行列式。由於這種行列式跟分塊矩陣息息相關,小編將會在矩陣的講解中介紹這類行列式。
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