必須知道的幾種特殊行列式

2020-12-13 別跡無涯

特殊的行列式有很多,本文將對一些常用到的、用於計算行列式值的特殊行列式進行解釋和應用,這些特殊行列式包括三角行列式、範德蒙行列式、奇數階反對稱行列式、形似三角行列式的分塊行列式。本文重點講述前三種行列式。

1.三角行列式

根據對角線位置的不同,可以分為主對角線三角行列式和副對角線三角行列式。

主對角線(或副對角線)三角行列式又根據零元素所在位置分為上三角行列式和下三角行列式。具體示意圖如下:

圖1.三角行列式示意圖

對於三角行列式,一個非常容易混淆的概念是上三角行列式和下三角行列式。上三角行列式是對角線下方的元素全為零,下三角行列式是對角線上方的元素全為零!

證明三角行列式的計算公式很簡單,小編以副對角線為例進行證明。下面是具體的證明過程:

三角行列式的應用非常廣泛,因為它提供了一種計算行列式的有效方法:即將一個複雜的行列式通過初等變換,將之化為上三角或下三角行列式,然後根據公式即可快速求得行列式的值。

小編在這裡就不舉例進行說明了,因為大家在做題過程中能經常用到三角行列式。只是一定要注意的一點是,再將複雜的行列式通過初等編換轉化為三角行列式的過程中,一定要養成標註的習慣,即標明如何這這個行列式轉換到下一個行列式的!

2.範德蒙行列式

範德蒙行列式的重要特徵是,第一行(或第一列)元素全為0,且每行(或每列)的元素構成等比數列,其形式如下:

範德蒙行列式的證明可以通過行列式的初等行(列)變換,將之化為三角行列式來證明,此處證明從略。

題目往往不會直接給出一個完全符合範德蒙行列式形式的行列式,讓大家去計算該行列式的值,因為這種不拐彎的做法明顯是輕看大家了!

一種常見的類似範德蒙行列式形式的行列式如下:

對於這類缺行(列)的類似範德蒙行列式而言,可以通過添加輔助行和輔助列進行求解,具體過程如下:

通過添加輔助行和輔助列,使得行列式變為標準的範德蒙行列式。此時,如果將m視為一個變量,那麼上述行列式對輔助列進行展開,那麼就會得到一個關於m的多項式,具體過程如下:

當化簡道上面這一步時,剩餘的工作就是細心和耐心了!有興趣的同學可以自行化簡。

3.奇數階反對稱行列式

反對稱行列式,就是主對角線兩側元素關於主對角線反對稱,且主對角線元素為0。

對於奇數階反對稱行列式,其值為0。證明從略。

需要提醒一點的是,對稱行列式的主對角線元素不需要一定為0!

當然對於奇數階反對稱行列式的這條性質,練習和真題中都沒出現過,大家可以稍微了解下,知道有這麼個性質就行!

在特殊行列式中,還有一種就是分塊形式的行列式。由於這種行列式跟分塊矩陣息息相關,小編將會在矩陣的講解中介紹這類行列式。

喜歡小編的點個關注吧!

相關焦點

  • 2016考研數學:行列式知識點總結
    性質2交換行列式的兩行(列),行列式的值變號。  推論若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式的值為零。  性質3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k,則k可提到行列式外。  推論1數k乘行列式,等於用數k乘該行列式的某一行(列)。  推論2若行列式有兩行(列)元素對應成比例,則該行列式的值為零。
  • 線性代數:特殊行列式總結及其幾何意義,這些數學老師不會講
    在前面,小編已經給大家總結過了常見行列式計算的方法,包括定義法、利用行列式性質的方法、升階法、降階法、遞推法、數學歸納法、拆分法等等。下面我們接著介紹的是,線性代數中的一些特殊行列式的計算。這裡簡單講敘述一下,範德蒙德行列式的證明可以運用遞推法或者第一數學歸納法。特別要注意的是,範德蒙德行列式的變形,即缺一行(列)的範德蒙德行列式,常見的解決方法是把缺失的那一行或一列補上,當然為了保證行列式有意義(行列式只能是方形),要相應的再補上一行或一列。再進行按行或按列展開,取相應的係數就可得行列式的值。
  • 線性代數中行列式計算總結,學會這些方法,拿下行列式的半壁江山
    、遞推法、拆分法,以及會簡單提及一個特殊的行列式-範德蒙德(Vandermonde)行列式,威力巨大,可以拿下行列式的半壁江山。數學歸納法首先說明,數學歸納法有2種,第一數學歸納法和第二數學分配方法,我們行列式計算中使用的是第一數學歸納法。
  • 專題一:行列式的計算方法
    專題一:行列式的計算方法通常,行列式計算問題分為兩大類:具體行列式:行列式的元素已知.這一類行列式計算問題,從行列式的元素角度,可以分為兩類:抽象行列式:行列式的元素未知.這一類行列式計算問題,可能與矩陣,方程組,特徵值等有關.
  • 2017考研數學:三類行列式計算方法總結
    三階以上的行列式,一般可以運用行列式按行或者按列展開定理展開為低階行列式再進行計算,對於較複雜的三階行列式也可以考慮先進行展開。在運用展開定理時,一般需要先利用行列式的性質將行列式化為某行或者某列只有一個非零元的形式,再進行展開。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質進行求解。
  • 2017考研數學:行列式計算方法總結
    特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質進行求解。對於高階行列式的計算,我們的基本思路有兩個:一是利用行列式的性質進行三角化,也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來計算;二是運用按行或者按列直接展開,其中運用展開定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個或者兩個非零元,如果展開之後仍然沒有降低計算難度,則可以觀察是否能得到遞推公式,再進行計算。
  • 2017考研數學(二)科目中行列式怎麼算?
    (一)計算行列式的主要方法   計算行列式一般有兩個思路:將一般行列式轉化為上(下)三角行列式或對行列式進行降階,具體的計算方法主要有如下幾種:   (1)應用行列式的性質計算行列式:   ①行列式中兩行(列)互換,行列式的值變號。
  • 考研數學:行列式計算方法大放送
    推論若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式的值為零。  性質3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k,則k可提到行列式外。  推論1數k乘行列式,等於用數k乘該行列式的某一行(列)。  推論2若行列式有兩行(列)元素對應成比例,則該行列式的值為零。  性質4若行列式中某行(列)的每一個元素均為兩數之和,則這個行列式等於兩個行列式的和,這兩個行列式分別以這兩組數作為該行(列)的元素,其餘各行(列)與原行列式相同。
  • 2015考研數學線性代數之行列式的考點分析
    作為研究線性方程組的工具之一行列式,是線性代數的基礎章節,在每年的研究生考試中平均佔4分左右,主要以客觀題形式出現,今年選擇題題的非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件就用到了係數行列式為零,而且還是個特殊的行列式-範德蒙行列式。
  • 圖說行列式:幾張圖讓你明白行列式的性質
    是否還記得《線性代數》或者《高等代數》裡面的行列式定義?一般的教材對行列式的定義大概兩種吧,逆序定義和展開式定義,無論哪種定義方法,都讓我當你感覺莫名其妙,一直要到很後面學習了線性方程組,建立了方程與行列式的聯繫,才知道這些定義的意義。在沒有任何直觀意義的幫助下,學習行列式的各類性質簡直和死記硬背沒有區別。
  • 2017考研數學:行列式計算方法大放送
    推論若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式的值為零。  性質3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k,則k可提到行列式外。  推論1數k乘行列式,等於用數k乘該行列式的某一行(列)。  推論2若行列式有兩行(列)元素對應成比例,則該行列式的值為零。  性質4若行列式中某行(列)的每一個元素均為兩數之和,則這個行列式等於兩個行列式的和,這兩個行列式分別以這兩組數作為該行(列)的元素,其餘各行(列)與原行列式相同。
  • 高等代數教學筆記3:行列式 I
    1994 年, 一個叫夏侯惇, 呃.不, Sheldon 的人 (不知道是不是「生活大爆炸」裡的那位), 寫了一篇文章, 題目是 Down with
  • 2016考研數學線性代數重點詳解:行列式與矩陣
    (2)特殊的行列式   要求必須熟練掌握相應的計算方法,特殊的行列式主要有三角行列式、範德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等。   2、行列式的常見題型一般有三種,即數字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算。
  • 2018考研數學大綱剖析與命題規律探索—行列式
    下面老師對考研數學中關於行列式的要求、命題規律及解題方法做些分析和總結,供各位考研的同學複習參考。一、行列式的考試要求剖析在考試大綱中,數學一、數學二和數學三對行列式的考試要求完全相同,即要求:1.了解行列式的概念,掌握行列式的性質。2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。
  • 行列式的本質是什麼?
    然後你要問等式兩邊是否一定相等,我可以明確告訴你:too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像:「 你經過股票投資,把1塊錢放大3被變成了3塊錢,然後經過實業投資,把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少?」
  • 2021考研線代考點:降價法計算行列式
    一 行列式   行列式在整張試卷中所佔比例不是很大,一般以填空題、選擇題為主,它是常考內容,不只是考察行列式的概念、性質、運算,與行列式有關的考題也不少,例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特徵值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。
  • 帶你算懂行列式(一)
    之前說要先帶大家理解向量空間,再練熟行列式運算,我絕不食言,現在開始學習行列式的計算吧~直接上結論,方便大家直接用。多階行列式行列式就是一組數排在一起。這就是一個n階行列式,即有n行n列。性質1:某行(列)加上另一行(列)的幾倍,行列式不變。我們來看性質1:某行(列)加上另一行(列)的幾倍,行列式不變。
  • 2016考研:線性代數-行列式的計算
    線性代數主要內容就是求解多元線性方程組,其中行列式的計算起重要作用。而學習行列式的過程中,對行列式的計算技巧往往較難掌握。在本文裡,介紹了兩個技巧性較強的方法:化三角形法和逐行(列)相加法。
  • 2020考研數學線性代數重點內容與常見題型:行列式
    行列式在整張試卷中所佔比例不是很大,一般以填空題、選擇題為主,它是必考內容,不只是考查行列式的概念、性質、運算,與行列式有關的考題也不少,例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特徵值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題,必然會在其他章、節的試題中得以體現。所以要熟練掌握行列式常用的計算方法。
  • 數學教育:上三角行列式
    一個n階行列式若能通過變換,化為上三角行列式,則計算該行列式就很容易了。三角形行列式(triangular determinant)是一種特殊的行列式,數域P上形如或的行列式分別稱為上三角形行列式和下三角形行列式,亦稱上三角行列式和下三角行列式,統稱三角形行列式。每個行列式都可以只運用行或者列的性質化為一個與其相等的上(下)三角形行列式。