作者，【陌生，愛），哆嗒數學網群友，就讀於湖北理工學院。
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今天小編想給大家講一下行列式，諸位看到行列式是不是覺得特別親切，大一的時候學習行列式有沒有很痛苦啊？——反正當年小編學習這個是及其痛苦的——也許我比較笨吧，:)。
是否還記得《線性代數》或者《高等代數》裡面的行列式定義？一般的教材對行列式的定義大概兩種吧，逆序定義和展開式定義，無論哪種定義方法，都讓我當你感覺莫名其妙，一直要到很後面學習了線性方程組，建立了方程與行列式的聯繫，才知道這些定義的意義。在沒有任何直觀意義的幫助下，學習行列式的各類性質簡直和死記硬背沒有區別。
今天小編拋開這些通常線性代數或者高等代數教材上的定義，從幾何上讓讀者們更直觀的理解什麼是行列式，並用幾何方法來介紹行列式的基本性質。
那我們現在開始來說說行列式吧！首先來看簡單的二階行列式：
如上圖，平行四邊形OACB的面積為：
毫不意外的（取m = l = 1），我們用這種方式來記憶和角公式：
因此二階行列式的值，可以表示兩個向量所構成的平行四邊形的面積。那麼三階行列式表示什麼含義呢？n階行列式又代表什麼含義呢？類推一下相信大家就能想出來。沒錯三階行列式的幾何意義為三維歐式空間裡平行六面體的體積。當然n階行列式就由n個n維向量組成，其結果為n維平行多面體的體積。
下面的文字我們將來解釋行列式基本性質的幾何意義了。下面我們一起來看行列式性質的幾何解釋，這裡我們取二階或者三階行列式進行說明。
性質1：行列互換行列式不變（轉置）。
數學語言表述為：
幾何解釋：很顯然平行四邊形兩條鄰邊互換，它的面積依然不變。
這說明行列式的行和列等價，也就是說凡是對行成立的性質，對列也成立。
性質2：以一常數乘行列式的一行就相當於用這個數乘以此行列式。
數學表述為：
對於二階行列式，我們看上圖就很直觀，我們將其中一個向量變成原來的k倍，面積也跟著變成了原來的k倍。
類似的三階行列式有，平行六面體體積的k倍相當於其中一個向量變成原來的k倍。平行六面體體積的增大可以看成其中某個稜長增大相應的倍數。
性質3：如果某一行是兩組數的和，那麼這個行列式就等於兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來的行列式對應的行一樣。
數學表述為：
如圖所示，圖中的紫色平行六面體的體積可以看成兩個小平行六面體的體積之和，也就是說一個行列式可以通過拆分其中的一個列向量得到兩個行列式的和。
性質4：如果行列式兩行成比例那麼行列式為零。
數學表述為：
先考了特殊情形，當k取1時，也就是說行列式有兩列或者兩行元素相等時，它所對應的空間平行六面體的兩條鄰邊重合，相應的就是將平行六面體壓成高度為零的二維平行四邊形，其體積為零，即行列式為零。當k不等於1時，相對應這組向量裡面有共線的向量，即由n維降低到n-1維，對應的度量體積為零。
性質5：把一行的倍數加到另一行，行列式不變。
數學表述為：
這條性質表述為，以向量a和b為底的平行六面體在向量a方向上做切向變換。我們知道將平行六面體平推它的體積依然不變。故對應行列式的值不變。
性質6：對換行列式兩行的位置行列式取反號。數學表述為：
因為向量具有方向性，如果我們把符合右手定則的向量積定義為正值的話，則它的反向定義為負值。當det（A）為負值時它就確定了原像的一個反射。
其實一個行列式的幾何意義是有向線段（一階行列式）或有向面積（二階行列式）或有向體積（高階行列式）。行列式是由各自坐標軸上的有向線段所圍起來的有向體積的和。這就累加要注意方向，同向相加，反向相減。
相信讀者應該理解了行列式的幾何意義了吧，是不是對行列式有了更新的認識啊？其實小編一直的覺得很多數學量或者數學概念，都可以找出它所對應的直觀意義，這樣我們的數學學習就不會那麼抽象那麼難理解了，反而會很有意思。
最後希望大家能喜歡數學，反正小編就很喜歡數學——數學虐我千百遍，我卻待它如初戀——不管你信不信，反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~。
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