數學教育:上三角行列式

2021-02-19 榔頭頭科技

主對角線(從左上角到右下角這條對角線)下方的元素全為零的行列式稱為上三角行列式。一個n階行列式若能通過變換，化為上三角行列式，則計算該行列式就很容易了。

三角形行列式(triangular determinant)是一種特殊的行列式，數域P上形如

或

的行列式分別稱為上三角形行列式和下三角形行列式，亦稱上三角行列式和下三角行列式，統稱三角形行列式。每個行列式都可以只運用行或者列的性質化為一個與其相等的上(下)三角形行列式。上(或下)三角形行列式都等於它們主對角線上元素的乘積。行列式

稱為對角形行列式，亦稱對角行列式。它既是一個上三角形行列式，又是一個下三角形行列式 [1] 。

行列式的七條性質

編輯

1. 行列式D與它的轉置行列式相等。

2. 互換行列式的兩行(列)，行列式的值改變符號。

由性質2可得出：如果行列式有兩行(列)的對應元素相同或成比例，則這個行列式為零。

3. n階行列式等於任意一行(列)的所有元素與其對應的代數餘子式的乘積之和。即

或

性質3說明了行列式可按任一行或任一列展開。一般地，如果行列式的某一行或某一列中零元素較多；則按該行或該列展開來計算行列式會簡便一些。

4.n階行列式中任意一行(列)的所有元素與另一行(列)的相應元素的代數餘子式的乘積之和等於零。即當

時有

由性質3和性質4，可得到如下結論：

5.行列式某一行(列)的公因子可以提出來。即用一個數乘行列式就等於用這個數乘行列式的某一行或某一列。

6.如果行列式中某- 一行(列)的元素可寫成兩數之和，則這個行列式等於兩個行列式的和，而且這兩個行列式除了這一行(列)以外，其餘的元素與原行列式的對應元素相同。

7. 將行列式的某一行(列)的各元素都乘以同一個常數後，再加到另一行(列)的對應元素上，其值不變 [2] 。

化行列式為上三角行列式

編輯

利用以下三條性質，可以把所給n階行列式化為上三角行列式，從而算出這個行列式的值。

(1) 互換行列式中某兩行(或某列)位置，行列式前乘(-1)；

(2) 行列式中某行(或某列)有公因子，這個公因子可以提到行列式外面去；

(3) 把行列式的某一行(或某一列)的任意倍加到另一行(或另一列)上去，行列式的值不變 [3] 。

例1計算四階行列式

解： 利用上述行列式的第三條性質，把第一行的1倍加到第二行上去，再把第一行的(-2)倍加到第四行上去

(再互換第二行和第三行的位置)：

(將第二行的1倍加到第四行上去)：

(第四行提出公因子3後與第三行互換位置)：

(將第三行的-2倍加到第四行上去)：

相關焦點

  • 2017考研數學:行列式考點解析
    行列式是線性代數中最基本的運算之一，也是考生考研數學線性代數複習中必須掌握的兩大基本技能之一(另一項是線性方程組)。後面的很多知識點都會用到行列式，如判斷矩陣的可逆性，求矩陣的秩，求矩陣的特徵值等。
  • 2017考研數學(二)科目中行列式怎麼算?
    在往年的考研數學(二)考試大綱中，明確要求考生「會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式」。認為，鑑於考研數學大綱的穩定性，在2017考研的數學(二)科目中依然會出現計算行列式的題目，因此系統詳細地研究這個知識點很有必要。
  • 2016考研數學線性代數重點詳解:行列式與矩陣
    線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間(或稱線性空間)，線性變換和有限維的線性方程組。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。接下來就為大家總結一下線代在考研數學中的重點內容及題型。
  • 線性代數:特殊行列式總結及其幾何意義,這些數學老師不會講
    在前面，小編已經給大家總結過了常見行列式計算的方法，包括定義法、利用行列式性質的方法、升階法、降階法、遞推法、數學歸納法、拆分法等等。下面我們接著介紹的是，線性代數中的一些特殊行列式的計算。箭型解決方法：利用行列式的性質，用主(次)對角線上的元素將其中一條邊化為0，再根據三角或次三角行列式的結果來求。
  • 2020考研數學線性代數重點內容與常見題型:行列式
    2020考研已經進入暑期尾聲，暑期考研複習對於整個考研複習階段來說非常關鍵，關於考研數學大家複習的怎麼樣了？在考研數學中，線性代數相對來說是比較簡單的學科，下面就大家整理了線性代數重點內容與常見題型，希望能幫助大家更好的複習！
  • 2017考研數學:三類行列式計算方法總結
    三階以上的行列式，一般可以運用行列式按行或者按列展開定理展開為低階行列式再進行計算，對於較複雜的三階行列式也可以考慮先進行展開。在運用展開定理時，一般需要先利用行列式的性質將行列式化為某行或者某列只有一個非零元的形式，再進行展開。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質進行求解。
  • 基礎 考研數學行列式計算如何破解
    海天考研中國考研輔導老字號上百萬考研學子的信賴之選行列式是線性代數中最基本的運算之一
  • 2015考研數學線性代數之行列式的考點分析
    作為研究線性方程組的工具之一行列式，是線性代數的基礎章節，在每年的研究生考試中平均佔4分左右，主要以客觀題形式出現，今年選擇題題的非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件就用到了係數行列式為零，而且還是個特殊的行列式-範德蒙行列式。
  • 2017考研數學:行列式計算方法總結
    對於數值型行列式來說，我們先看低階行列式的計算，對於二階或者三階行列式其是有自己的計算公式的，我們可以直接計算。三階以上的行列式，一般可以運用行列式按行或者按列展開定理展開為低階行列式再進行計算，對於較複雜的三階行列式也可以考慮先進行展開。在運用展開定理時，一般需要先利用行列式的性質將行列式化為某行或者某列只有一個非零元的形式，再進行展開。
  • 2015考研數學行列式與矩陣複習重點
    行列式的重點是計算，包括數值型行列式、抽象型行列式和含參數行列式的計算。結合考試分析，建議考生從行列式自身知識、與其它知識的聯繫這兩方面來把握該部分內容。具體如下：1. 行列式自身知識考生應在理解定義、掌握性質及展開定理的基礎上，熟練掌握各種形式的行列式的計算。行列式計算的基本思路是利用性質化簡，利用展開定理降階。
  • 2015考研數學線性代數之行列式篇
    不過很多考生在考研數學複習的基礎階段只注重對高等數學的複習，認為線性代數比較簡單，基礎階段可以不用複習，有這種想法的同學趕緊更正，否則考研數學很難取得高分!雖然高等數學在考研數學中佔56%，線性代數隻佔22%，而且從教材上來看，線性代數的內容也不及高數上冊教材的一半，但是線性代數有很多特點是高等數學不具備的：首先線代中的概念和運算均很抽象，需要考生花費時間去理解;其次線性代數中考查的基本全是計算題，需要考生反覆練習；最後線性代數知識體系複雜，各個知識點之間都是相通的，這就導致考題的靈活性、綜合性強。
  • 線性代數中行列式計算總結,覺得難?清北學霸說塞牙縫都不夠
    (很基本的問題，我們就不解了)行列式基本性質要想快速掌握行列式的各種計算技巧、各種計算方法。首先，我們需要熟練的掌握並應用行列式的基本性質。(1)行列式中兩行 (列) 互換, 行列式變號.其中，第(2)個式子和第(3)個式子，我們通常通俗的稱作為行列式的數乘和行列式倍加性。這是行列式最基本的3條性質。再者，我們可以利用這3條性質推出行列式的其它性質，如果行列式每一行或每一列的和相等，那麼可以利用行列式倍加性質提出這個和。我們還需要知道的是，行列式的可拆分性等等。
  • 2016考研數學:行列式知識點總結
    行列式是線性代數的基礎，行列式的計算方法掌握不好，將會影響很多題的解答。在此給大家介紹行列式的計算方法，希望對大家的複習有所幫助。　　行列式是線性代數的基礎，行列式的計算方法掌握不好，將會影響很多題的解答。在此給大家介紹行列式的計算方法，希望對大家的複習有所幫助。
  • 線性代數《行列式》常見題型與舉例
    (4)n階行列式的計算法解題方法：階行列式的計算，其基本方法和技巧是「化零」和「降階」。常用的方法有：定義法；利用基本性質化為三角形行列式；遞推法與數學歸納法；公式法等。在計算階行列式時，要根據行列式中行(列)元素的特點來選擇相應的解題法。
  • 必須知道的幾種特殊行列式
    特殊的行列式有很多，本文將對一些常用到的、用於計算行列式值的特殊行列式進行解釋和應用，這些特殊行列式包括三角行列式、範德蒙行列式、奇數階反對稱行列式、形似三角行列式的分塊行列式。本文重點講述前三種行列式。
  • 考研數學:線代行列式歷年常考題型匯總
    考研數學：線代行列式歷年常考題型匯總 http://kaoyan.eol.cn　　　　跨考教育　　2013-11-08　　大　中　小 　　行列式是線性代數中最基本的運算之一，
  • 考研數學小專題 | 行列式的計算
    行列式的計算是線性代數中的基本題型。方法多種多樣，靈活多變。熟悉了解這部分內容的方法與技巧後，對提高行列式計算的速度大有幫助。
  • Lecture 17 | 行列式
    n階方陣A構成的數表用‖框起來表示一個行列式，行列式的值記作det A 或 |A|。行列式是一個算式，把n^2個元素按照一定的法則進行運算，得到的數值稱這個行列式的值。本節內容不對行列式公式進行解釋，先理解行列式的性質（行列式算法定義）再進行公式解釋要舒服一點。其中有三個基本性質或者稱之為算法定義。
  • 2018考研數學大綱剖析與命題規律探索—行列式
    考研數學大綱是數學複習的理論依據，複習要以大綱為指導進行各個知識點的複習。考研數學大綱對知識點的要求分為4個層次：了解、理解、會、掌握，其中要求掌握的部分是要求最高的，其次是要求會的，這一般是針對計算方法，要求最低的是了解。
  • 2016考研數學線性代數複習重點:行列式與矩陣
    以下內容是線性代數行列式與矩陣部分的重點解析，希望對考生複習有所幫助。 　　一、 行列式 　　行列式是線性代數中的基本運算。該部分單獨出題情況不多，很多時候，考試將其與其它知識點(矩陣、線性方程組、特徵值與特徵向量等)結合起來考查。