|馬克斯·普朗克 著 曹則賢 譯
本文選自《物理》2020年第6期
普朗克(Max Planck,1858—1947)是相對論的奠基人，是熱力學的拓展者，是統計力學的反對者和擁護者。普朗克是量子論的先驅，但似乎不能算是量子力學的奠基人。在1900年的文章(M. Planck，Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum (標準譜能量分布律理論)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237—245(1900))中，普朗克用能量量子假設ε = hν 再次得到了他在此前一篇文章中得到的黑體輻射譜分布公式，即所謂的普朗克分布公式。在此後十餘年的時間裡，普朗克對待能量量子的態度同愛因斯坦等人的態度截然相反，可以說他並不期待一個所謂的量子理論而只是希望在新的物理理論中，作用量子h,普朗克嘴裡的Wirkungsquantum,危害小點兒就好了。當然了，普朗克是一直在思考量子與黑體輻射問題的，他稱自己那些年裡的所作所為是絕望行動(Akt der Verzweiflung)。然而，在1911年底，普朗克提交了當前的這篇論文，在一個新的振子發射輻射模型的基礎上，普朗克再次得到了黑體輻射公式，這是普朗克自己的第三種黑體輻射公式推導方式，也是繼愛因斯坦在1906年，1907年，1910年，洛倫茲在1908年，德拜在1910年，艾倫菲斯特在1911年各種花式推導黑體輻射公式後的新嘗試。這篇文章絕對是物理學史上裡程碑式的存在。本文中，普朗克不僅再次如願以償地得到了黑體輻射公式，關鍵是他還第一次使用了對應原理(這是後來構建量子理論會頻繁用到的一種方法)，第一次導出了諧振子的零點能1/2hν。零點能的概念出來以後，愛因斯坦和Otto Stern迅速拿過去討論了氫低溫比熱的問題。這樣的一篇論文，絕對是物理學研究方法論的教科書範本。今特將此文翻譯出來，盼與諸君一起邊學習邊思考如何讓大腦孕育新思想的問題。原文見Max Planck,Über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg,Annalen der Physik 37,642—656(1912). 原文有些說法或用詞在今天看來可能已經過時，但還是忠實於原文給翻譯了出來，必要時譯者會加註解。文中普朗克的各種操作是否合理、妙處何在，讀者諸君請自行體會。
至今從考察單色振動的、既吸收又發射輻射能量之線性振子出發的關於黑體輻射譜能量分布公式的推導，正如曾多次強調的那樣，有一個非常敏感的缺陷。為了確定輻射強度對溫度的依賴關係，振子的能量一方面同空間中自由傳播的波動輻射的強度聯繫起來，另一方面又被用作計算此種振子所構成體系之熵的基礎【譯者註：就是分別指普朗克公式中前面的係數與後面的平均能表示】。
第一個方面的研究純粹是電動力學的。振子的振動能
( f 是振子的電極矩。K 和 L 都是正的係數)被當作連續變化的量處理，其值可通過積分振動方程
來計算(Ez 是在振子軸方向上的外場之電場強度分量，c 是光速)
第二個方面的研究則純粹是統計的。振子的振動能量被當作非連續變化的，即當成一個基本量子 ε = hν0 的整數倍，其中 h 是一個普適常數，ν0 是振子本徵振動的振動數【譯者註：波數；即頻率 ν 。下文中管角頻率 ω 叫作頻率】
這兩種看問題方式之間的矛盾是顯然的。即便將方程(2)只用於平均能量，而統計計算時出現的是在特定時刻的實際能量U，如此考慮這個矛盾也只是緩和了一些。因此，找到將電動力學的處理方式與統計的處理方式統一起來的輻射公式推導依然是當務之急。
本文就是針對這個任務的。本文中，輻射定律將從某些物理前提推導。這些前提，儘管依這件事的本性必然包含某些假設的元素，不過我相信它們沒有內在矛盾，且離經典電動力學和電子理論的核心不遠，而不是如其之人所共知不可跨接的對立面那樣，總是需要量子假設。
當然我無意說這個推導是獨有的或者是最切合實際的。恰恰相反，我認為很可能其形式與內容都大有改進的餘地。但是，存在一個絕對沒有矛盾的推導，嚴格說來此前還沒有這樣的推導，我感覺那已是實質上的大進展了。
我們保留此前推導中的前提，即在一個充滿靜態黑體輻射、由靜止的鏡面壁所圍成的真空腔中存在一個由許多具有特定共同本徵周期的、靜止的線性振子所構成的系統，其間的距離使得振子間互相沒有影響。這些振子應該吸收和發射能量，但僅以電磁波輻射的形式。振子的振動能仍由(1)式給出。與此相反，振動方程(2)應代之以簡單地丟掉阻尼項得到的形式
這和經典電磁學矛盾。不過，深入思考會發現矛盾只擴展到振子表面或內部的區域1)，恰是在這些地方新假設還能首先得到保證的。
這樣常用的發射機制就關上了，現在需要引入一個新的發射機制，此處會用到量子假設。我們假設如下前提，振子只在其振動能 U 是能量單元 ε = hν0 的整數 n 倍那樣的時刻才能發射。它是否確實發射，或者通過吸收繼續增加其振動能，取決於概率【譯者註：這個假設太讓人無語。大科學家的特點就是通過大膽的胡說八道得到重大結果】。這不是說關於是否發射不作因果性的考慮，而是決定是否發射的因果過程應該具有這樣的隱藏性質，其規律暫時通過統計的方式來確立。這樣的假設在物理學中不陌生，比如在化學反應的原子理論、放射性物質的衰變理論裡就有。
當發射發生時，全部的振動能量都要發射出去，振子的振動歸零，去迎接下一輪通過吸收輻射能量的再度上揚。
如此，尚需確定振子在其能量達到 ε 的整數倍的時刻是否發射之概率的規則。因為由假定的振子系統通過吸收和發射的交互作用所能達到的統計平衡狀態顯然依賴於這個規則，則振子的平均能量越大，在那個關鍵時刻振子不發射的機率就應該越大。另一方面，包圍振子的空腔輻射強度越大，振子的平均能量越大，故我們可確立這樣的發射規則：發射不發生的概率與發射發生的概率之比，正比於激勵振子的振蕩強度【譯者註：挺彆扭。原文振子Oszillator 和振動Schwing 是兩個詞。後者指輻射的振蕩】(因為這個強度的定義，請比較方程(17))。比例常數的值我們此後會通過應用到輻射強度很大的特例上加以確定【譯者註：這就是普朗克引入對應原理的動機】。如我們所知，此處經典電動力學以及由其得出的瑞利輻射定律等著名公式成立，而且是對于振子的任意時期都成立。
通過所有這些對此前本人所提出的量子發射假設的進一步精確闡述，所考察的輻射過程的流程，靜態的特徵，振子系統的熵與溫度，以及黑體輻射譜的能量分布，就完全確定了。接下來我們首先在電動力學部分考察吸收，而後在統計部分考察發射和靜態能量分布。
現在盯住一個振子，其剛完成一個發射過程，失去了全部的振動能。我們從此時刻計時，有 t=0，f=0，df /dt=0。吸收過程依據方程(4)進行。把Ez寫成傅立葉級數的形式【譯者註：此處n=0 項缺少，從完備性的角度來看似乎不合適。不知道作者是怎樣考慮的】，
這裡選擇的T 特別大，所有考察範圍內的時間 t 都滿足 t < T 。因為我們的前提是靜態空腔輻射，故常數An，Bn以不規則的方式依賴於序數n。序數為n的分振動擁有振動數 ν 和頻率 ω 【譯者註：這個時期的文獻也稱 ν 為波數】：
而振子本徵周期的振動數【譯者註：Schwingungszahl der Eigenperiode des Oszillators. 原文如此】由(3)式給出。
計及初始條件，我們得到微分方程(4)的定解為
當
這就是振子到達下次發射時刻的振動。當 ω 接近 ω0 = 2πν0 ，係數 an，bn 達到最大值( ω = ω0 的情形不重要。我們可以通過假設 ν0T 不是整數將這種情形排除)。
我們現在計算振子在時間範圍 t = 0 到 t = τ ，後者對應的
全部吸收的能量。這可由方程(1)和(4)通過積分
得到，其中用到已知的Ez 的表達式(5)以及
通過乘積，帶入(8)式中 an，bn 的值，丟掉由兩個不同常數 An 和 Bn 乘積得到的所有項，這提供了吸收的能量，
逐項對 t 積分，得
為將不同數量級的項分開，可將此表達式改寫，使得在每一項中都出現差 ω0 - ω ，結果為
現在，對傅立葉級數的序數 n 求和。因為基本周期 T 非常大，則相鄰兩序數差 Δn = 1 對應非常小的頻率差 dω ，根據(6)式，
對 n 的求和轉換成了對 ω 的積分。
由 An 構成的求和級數包括三項，我們先比較其數量級。只要關切的是數量級，可暫時不考慮 An2 的變動，擬比較的三個積分為
根據(9)式，至少就我們所關切的 ω 值來說， ω0t 以及 ωt 都是大數，因此積分可以簡化。在積分 J1 中，表達式 sin2ωt 可以用平均值 1/2 代替，得到 J1 = 1/4ω0。在第二項積分 J2 中，因為最後一個因子，顯然有 J2 = 0 。計算第三個積分 J3 時，我們將頻率 ω 的取值序列限制在 ω0 兩側， 即從 ω1 < ω0 到 ω2 > ω0 ，使得
而同時
因為 ω0t 是大數，故這是可能的。將積分 J3 裁成三部分， ，則因為條件(14)，第一和第三部分積分中的表達式可以用其平均值 1/2 替代，由此這兩部分積分變成了
總是都相應地小於 ，其相應的值為
現在還剩 J3 中間部分的積分
因為條件(13)，可以近似寫為，引入積分變量 ，考慮到積分邊界條件(14)，得。相對表達式(16)，以及作為加強版相對於(15)式裡的兩個部分積分以及上面的積分J1和J2，此表達式處於高數量級。因為我們的計算中只有在 ω1和ω2 之間的頻率 ω 有顯著的存在感，所以我們可以因為(13)式在總的吸收能量表達式中將係數An2和Bn2用在ω0 附近的平均值A02和B02來代替，利用(12)式，最終得到振子在時間 τ 吸收到能量總額為 。
現在通過譜分解激勵場強Ez的均方值來定義激勵振子的強度J0，即
則由(5)和(12) 式得 ，比較(17)式，得。進一步地，看得到在時間 τ 吸收的能量為，這意思是說在兩次發射之間振子能量U是隨著時間均勻增加的，滿足
每一次當振子能量 U 為基本量子 ε =hν (我們從現在起放棄下標0)的 n 倍時，將全部能量U發射出去的事件就可能發生，概率記為 η；相應的發射不發生的概率為1-η 。根據第2節假設的發射規則，不發射的概率相對發射的概率之比正比於強迫振子的激勵振動之強度 J，即
其中比例因子p的值留待特別考慮。如下給出在靜態輻射場中振子的平均能量。
在N個完全發射的振子中， Nη 是在達到第一個能量量子時發射的， N(1-η)η 是在達到第二個能量量子時發射的，以此類推， N(1-η)n-1η 是在達到第n 個能量量子時發射的。由此可見，在靜態場中同時隨機挑出來的N個振子中， 有 Nη = NP0 個能量在0到 ε 之間；N(1-η)η = NP1 個能量在 ε 到 2ε 之間；以此類推，N(1-η)n-1η =NPn-1個能量在 (n-1)ε 到 nε 之間。這裡Pn 是振子能量在 nε 到 (n+1)ε 之間的概率，
這樣，振子的平均能量由如下方程給出
【譯者註：注意，這個 1/2 是作為 0 到 1 的均勻分布的平均值出現的】
從(19)式可得到其對激勵振動強度J的依賴關係
我們用這個公式首先來決定比例係數 p 。
在第2節結尾處我們確立了規則，對於大的激勵振動強度 J 的值，振子的平均能量過渡到經典電動力學所要求的值2)【譯者註：對應原理亮相！】。由此得
由此，平均能量 以及，根據(19)式有
在給定強度的靜態輻射場中的N個相同振子組成之系統的能量分布，就唯一地決定了。我們也能以熟知的方式計算系統的熵和溫度。
首先，系統的熵為3)
根據(20)式
或者考慮到(24)和(22)式，
那麼，由此可得出溫度【譯者註：注意，這裡是熵對平均能量的微分。這一時期的文獻還有寫成熵對能量微分的。其總體思想都是湊熱力學中內能、熵與溫度三者之間的關係】
或者，因為 ε = hν ,
最後，由(22)和(23)式，黑體輻射的譜振動強度為
其通過關係
同對應頻率的輻射密u，以及通過關係同單色線偏振的輻射比強度R，相聯繫。
T =0 時，有J =0，u =0，但是 。這個同溫度無關的能量剩餘屬於「潛能」4)，其對比熱容沒有貢獻但是對慣性(以及有重量的)質量有貢獻，它也構成放射性作用的源泉。【譯者註：普朗克這裡是一通瞎扯。不過，沒等他來得及擺脫或者至少再論這個1/2，愛因斯坦1913年就拿這個零點能的概念迅速解釋了氫低溫比熱的實驗結果】
前述輻射公式的推導儘管是明確的、自洽的，但是所採取的物理過程本質上往好了說也只是近似靠譜的。為了進一步考察所存在的偏差，應該將這裡假設的理想諧振子的物理性質進一步地詳細追蹤，儘可能地建立起其同觀察結果之間的聯繫。這包括發射次數甚至積聚時間，即振子兩次發射之間的時間間隔，的計算。
記振子從包圍它的黑體輻射獲得能量單元所需要的時間為 τ1，根據(18)式，
現在顯然在N個保持靜止的振子的體系中，在時間 τ1 內每一個振子恰好有一次發射的機會，且概率為 η 。由此給出的單位時間內的發射數為
如所期待的那樣，輻射數目隨溫度的增加而增加，但卻不是無界的，而是到達一個與振動數有關的最大值。經過簡單思考，由此可得到一個平均積聚時間，即一個振子相繼兩次發射的平均時間間隔，為
振子在相繼兩次發射之間平均所進行的振動數目為
為了對這個數的大小有點感覺，我們假設振子的振動由電荷為e、質量為m的電子的運動構成，根據方程(1) 和(2)，有
作替換 ν = c/λ，用Bestelmeyer的 e/m 最新數值5)，e/m = 1.77 × 107·c ，此外，e = 4.69 × 10-10，c = 3 ×1010，k = 1.35 × 10-16，h = 6.55 × 10-27，則由(31)式可得到未擾動振動的平均振動數為1.37 × 1011 λe1.46/λT 。若波長單位不是cm而是 μ，則結果為
根據這兒的假設，這個數字必須很大，否則吸收方程(18)式就失去了基礎。在一般常見情形確實如此，只有當溫度 T 大於1011 同時波長 λ 小於10-6 μ 時，未擾動振動的振動數才是中等數量級的，此前的考察過程才需要引入修正。
根據(29)式，用同樣單位，振子每秒的發射數為
而根據(30)式，平均積聚時間為
關於發射過程進一步的細節，即發射的波長數，這兒處理的假設無可奉告。容易想到可如此擴展假設，將每一個發射同放棄或者獲取一個電子的過程相聯繫。這當然會引入新的能量形式，即自由電子的能量，此亦呼喚新的認知方式。
比較這裡處理的理想狀況與實際過程時要關注的一個情形是，實際的振子既不是線性的也不是獨自振蕩的，而是簇擁著互相強烈影響的。
這是未來繼續構建理論的主要方向。所需依據自然只能來自關於非靜態或者選擇性過程(線形譜，倫琴射線，電子束以及離子束等)的經驗。普適作用量子 h 與其它原子常數之間存在關聯的暗示已經多次出現。
1911年12月，柏林
(1912年1月14日遞交)
註：
1) 振子表面的電磁場當然不能假設是振動偶極子的準靜態場。
2) 見M. Planck, Verhandl. d. Deutsch. Phy. Ges. v. 3. Febr. 1911 中的方程(4)。
3) 見M. Planck, Berliner Ber. v. 13. Juli 1911 中的方程(23)。
4) 見M. Planck, Berliner Ber. v. 13. Juni 1907, p. 567; Ann. d. Phys. 26. p. 30. 1908。
5) 見A. Bestelmeyer, Ann. d. Phys. 36. p. 928. 1911。