小學數學單元教學路徑微調的實踐與思考
浙江省餘姚市第一實驗小學 / 朱震緋
有三種邏輯推動著教學的前進，它們是：教材的編寫邏輯、學生的探究邏輯、教師的教學邏輯。理想的狀態下，這三者之間應該是互相重合，形成教育合力的，而現實並非如此。在更多的時候，這三種邏輯之間是不重合的。由此，我們可以假設：如果三者之間的邏輯相符，那麼其結果將是學生學得愉快，教師教得開心。反之，必定是學生學得被動，教師教得彆扭。進一步假設，當三者邏輯不一致時，我們究竟該讓誰去遷就誰？
現 狀
單元，是相對於課時而言更具有完整性的大教學單位。在小學數學教材中，數學知識、技能、思想方法的學習與感悟是通過「單元」的形式呈現和展開的。因此，對於「單元教學」的研究，歷來是研究的熱點。
對近年來單元教學的研究進行梳理和整合，我發現有這樣一些觀點值得我們深思。①將單元中不同課時的作用與價值分為「起、承、轉、合」四個模塊，讓我們看到了單元內部聯繫的重要性；②將單元中的「新授課、練習課、複習課、考查課和講評課」作為模塊指標，進行系統研究和教學設計，以解決課型之間割裂、斷層的問題等；③基於課堂自然生長的視角，提出了「種子課——生長課」的微單元系統與「單元——單元」的超單元系統的教學體系架構；④提出了學科個性化教學單元的構想，通過教學目標的調整、教學內容的重組、學習任務的設計實現「個性化教學」，等等。
若用上文中的三種邏輯去分析，可以發現上述研究中的有些視角還是停留在教材的編寫邏輯上。單元教學內容的「起、承、轉、合」關注的是教材內在的「序」；以「課的類型」開展模塊化的教學關注的是形式上的聯結。固然，數學知識有其內在的嚴密邏輯，這不容置疑。但我們或許可以換個角度思考，教材的編寫邏輯不等於數學知識的邏輯。當理想狀態下的「教材的編寫邏輯、學生的探究邏輯、教師的教學邏輯」三者不一致，無法形成教育合力時，我們可以做什麼？
但是，依然有研究激發了我的靈感：「種子課—生長課」的微課程系統與「單元—單元」超單元結構體系；促進不同水平學生的基礎性目標和發展性目標達成的「個性化教學」等。這些研究讓我認識到：當三種邏輯不合一時，我們首要考慮的是「學生的探究邏輯」。
探 索
「單元教學路徑」是指教師單元教學時所採取的教學邏輯。不用「課時」的字眼進行表述，是避免落入「課時有毒」的圈兒。因此，借用「路徑」一詞表達我心中的單元教學結構。微調指的是根據學生的實際，在現有的數學學科框架下通過調整呈現內容的順序、形式，拓展和補充學習資源，改變學習方式等以改變單元教學路徑。單元教學路徑的微調並非對原先教學路徑的否定，而是基於學生學情的對原先路徑的整合與拓展。
1.基於生長連續性的內容重組
人教版四年級上冊《大數的認識》是學生整數學習階段的結束。「大數的認識」即萬以上數的認識，是在學生認識和掌握了萬以內數的基礎上學習的，是萬以內數的認識的鞏固和擴展。本單元教材的編寫邏輯如下。
表1：
億以內數的認識
認識十萬、百萬、千萬、億；億以內的數位順序表，億以內的數的讀寫、比大小、改寫、求近似數
數的產生
介紹古人的計數法、計數符號的產生發展，介紹阿拉伯數字，自然數。
十進位計數法
認識計數單位「十億、百億、千億」，將數位順序表由萬級擴展到億級；十進位計數法。
億以上數的認識
億以上數的讀寫、比大小、改寫、求近似數。
計算工具的認識
計算工具的發展歷程；介紹算盤，電子計算器。
用計算器計算
用計算器進行四則運算，探索規律。
從表1中可以發現，億以內數的認識與億以上數的認識這兩塊內容的教材編排邏輯幾乎一致。分段認識，分散了學生學習的難點，可以讓學生有一個緩衝的節奏，培養學生的遷移自學能力。但教材這樣的好意，學生卻未必領情。
實際教學中，在第一課時裡認識億以內的計數單位時，課至「億」這個計數單位的教學節點時，學生就已經迫不及待地說出了後面的計數單位「十億、百億、千億」。這是水到渠成的事，是學生經驗的自然迸發。如果將「億以上的計數單位」放在第二部分學習，帶來的後果就是學生的學習興趣已大打折扣，學習的連續性也被打斷。於是乎，我思考：「大數的認識」單元教學路徑一定是這樣嗎？可以怎樣微調？
對比其他版本的教材，或許我們可以發現一些新思路。關於大數的認識，我對「北師大版、蘇教版、上海版、浙教版、青島版」等教材進行了如下對比。
表2：
北師大版
認識十萬→十進位計數法→讀寫萬以上的數→改寫、求近似數→自然數
蘇教版
萬級的計數單位→含有兩級數的讀寫→億級的計數單位→含有三級數的讀寫→改寫、比較大小、求近似數
上海版
十進位計數法→萬以上數的讀法、寫法→改寫、求近似數
浙教版
十進位計數法→萬以上數的讀法→萬以上數的寫法→自然數（不同冊）
青島版
十進位計數法→萬以上數的讀法→萬以上數的寫法→改寫→求近似數
通過對比，我發現，關於「大數的認識」一般有兩類路徑。一類是分段式的路徑，一類是混合式路徑。兩種路徑孰優孰劣？基於上述對學生學習現實狀態的分析以及教材對比不同路徑的可能性，我決定沿著這樣的路徑展開「大數的認識」的學習：十進位計數法——大數的讀法和寫法——大數的比較大小——大數的改寫和求近似數——自然數、計數工具——有趣的二進位。
在實際教學時，我和學生一起從「十萬」開始走起，藉助已有的「十進位關係」順利地引出了後續的到「千億」為止的所有計數單位。緊接著，我們討論：「為什麼萬後面的新計數單位不取一個新名字？為什麼千億後面不按照剛才的規則下去，不說萬億，要說億？你覺得什麼時候可能又會需要一個新的計數單位名字？」整合後的計數單位教學路徑，可以讓學生更加清楚地理解單位彼此之間的緊密聯繫，其背後的育人價值也有了更深長的意味。它讓學生體味到規定的深意。在教學萬以上數的讀、寫、比較大小時，由於知識間相同的「理」，課堂上的學習就更能發揮學生的學習主動性。雖然整合帶來一定的難度，但這樣的難度是適度的。適度的難度帶來的學習挑戰性使得學生在課堂上興致盎然，學習更有勁頭。
不同的路徑意味著不同的邏輯，但只有適合學生的邏輯才是教師應該選擇的。
2.基於學生學習規律的路徑架構
學生的認識發展往往遵循著一定的規律，這是學習的規律，也是教學所要遵循的規律。如認識圖形時，根據範希爾理論，學生一開始往往只關注圖形的整體特點，然後開始注意圖形元素的單一性質（先是長度，然後是角度），最後才能同時兼顧圖形及其元素的多種性質。而這樣的規律正是我們設計單元教學路徑所要考慮與遵循的。
人教版四年級下冊《三角形》的單元教學目標是：在第一學段直觀認識三角形的基礎上，通過觀察、操作、推理等活動進一步豐富學生對三角形的認識與理解。其編寫邏輯是：三角形的定義——穩定性——三邊關係——三角形的分類——三角形的內角和——四邊形的內角和。細細品味，我們可以悟到：教材的編排順序使得知識點之間的邏輯不夠嚴密，整體認識與局部深入的順序不夠順暢。
此外，從對學生的前測中，我們也看到了單元教材編寫的邏輯不符合學生的探究邏輯。我對所在年段的160名四年級學生進行了前測。從前測的結果看，學生最想了解三角形的前3個問題是：分類、面積、特性。這樣的結果是符合學生的已有經驗的。學生在之前的學習過程中，已經儲備一些認識圖形的數學活動經驗，分類是認識圖形的一種方法，因此學生首先想了解的是三角形的分類。對三角形的大小的興趣是對圖形直觀的感受。因此，學生對面積的興趣也非常濃厚，對面積的興趣也就是對底和高認識的基點。對三角形特性的興趣基於對四邊形特性的了解，學生產生了合情推理：三角形的特性是什麼？三角形會變形嗎？
基於以上分析，我將該單元的教學路徑進行了調整，使其遵循從「整體到部分」的認識順序。根據這一思考，我將該單元的教學內容進行如下整合。
表3：
路徑
設計意圖與說明
三角形定義與分類
路徑的前三個內容是從整體特點出發感知三角形。第四、五兩個內容是從單一元素「邊」和「角」入手進一步理解三角形。
筆者先帶領孩子從整體上認識三角形，分為兩個層次：一是從外部入手認識三角形的定義以及類別，整體感知形狀；二是從內部入手，認識三角形的底和高，從「圖形的大小「認識」三角形。
其次，我們再從局部入手深入理解三角形，也分兩個層次：一是從三邊關係研究認識三角形，而是從三個角之間的關係研究認識三角形。
三角形的底與高
三角形的特性
三角形的三邊關係
三角形內角和
四邊形內角和
深度學習理論指出，學生的深度學習一般要經歷這樣幾個過程：預備與激活先期知識，獲取新知識，深度加工知識，評價學習。要想讓學生進行深度學習，就要從與先期知識聯結最緊密的地方入手。調整後的單元教學路徑從學生與先期知識聯結最緊密的地方入手，遵循了學生認識圖形的規律。我認為，微調後的教學路徑優於原先教學路徑。
3.基於學生概念內化的路徑調整
人教版四年級上冊《平行四邊形和梯形》中關於「平行四邊形和梯形的認識」，教材原先的安排是：平行四邊形的概念和高的認識——梯形的概念和高的認識。
在小學圖形與幾何概念體系中，有些概念處於核心、樞紐的位置，我們稱之為「核心概念」。「平行」與「四邊形」就是這樣一組核心概念，且兩者在平行四邊形和梯形的概念定義中分別承載「種差」和「臨近屬概念」的上位概念身份。平行四邊形的概念是以「屬+種差」的方式下的定義。從這一點上看，平行四邊形和圖形的概念形成是同一次「屬+種差」擴展的結果。而教材人為地將兩者分開教學，我認為，這將導致學生無法很好地聯結起兩者。再者，平行四邊形與梯形的高從本質上來說是一樣的，它們都是平行線間的垂直線段。從這樣的視角分析，教材的編寫邏輯阻礙了學生的概念內化。
基於以上思考，我將平行四邊形和梯形的認識路徑作了如下微調：平行四邊形、梯形的認識——平行四邊形、梯形的高。將平行四邊形和梯形放在一起進行教學，能讓學生經歷「屬+種差」的概念發生過程，同時通過不同種差——對邊平行數量的多少來聯結「平行四邊形與梯形」，將兩者的高放在一起進行教學，最大限度保證「高」認識的完整性。
4.基於核心素養的時空拓展
近年來，關於「核心素養」的討論異常熱烈。在眾多的觀點中，我最喜歡的是曹培英先生的核心素養的三稜台圖（如圖1）。
圖1
抽象、推理、模型思想是最基本的數學思想，其他的數學思想都可看作是這三種數學思想派生出來。這三個思想構成了數學學科第一層次的核心素養。模型思想還蘊含了應用意識，符號意識可以併入抽象，因為符號是數學抽象最主要的語言表徵。運算能力、空間觀念和數據分析觀念則構成了數學學科第二層次的核心素養。第一層次的核心素養整體作用於第二層次的核心素養。核心素養「熱」的背後，說明了數學教育者對於「人」的尊重，追求的是數學的育人價值。基於學生核心素養的時空拓展是對單元教學路徑的彌補與豐厚，其關注的是學生發展的需求，是知識背後的軟目標。
（1）基於知識縱深的拓展。以北師大版四年級下冊《小數乘法》中的一道習題為例（如圖2）。
圖2
（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd的過程是分解因式的過程，基礎是乘法分配律。乘法分配律在後續的學習中非常重要，比如概率、高中生物的基因學、大學矩陣等。而在小學階段，乘法分配律又是學習的難點。於是，反過來思考，小學階段的乘法分配律局限於（a+b）×c=ac+bc，是不是妨礙學生發展的一個點？是否給了學生更多的乘法分配律的應用後，會讓學生有更深刻的體會，反而對學生有所幫助呢？
我在《小數乘法》單元教學時，嘗試開展了《分解因式》的拓展課。在課中，我和學生一起觀察、猜想、發現、概括，在課末與乘法分配律的溝通與對比中，學生說出了自己的感受——這是乘法分配律的升級版本。如此這般，拓展的是視野，聯結的是能力。
（2）基於文化厚度的拓展。在合適的時間，在合適的地點，讓歷史的因子滲入學生的血液，在歷史的長河中感受屬於數學的溫暖，感受數學內在的美妙與精神。總有一天，學生會感謝我們今天的嘗試。
在人教版四年級下冊《大數的認識》單元，我帶著學生一起走進二進位的世界。在執教《有趣的二進位》一課時，我引導學生在「計數器上用0和1撥一撥數；用0和1寫一寫數；試著把十進位的數換算成二進位，嘗試溝通二進位、十進位甚至更多計數法之間的聯繫」。我通過這樣的數學史活動課，幫助學生進一步理解十進位計數法，進一步體會計數法思想。在人教版六年級上冊《圓》單元教學時，我開展了史料閱讀課《古人與圓面積》。學生課前完成閱讀資料（如圖3），課中通過小組交流集體分享，感悟人們在追求圓面積時的不懈努力。這樣的課，讓整個圓的學習路徑有了一次溫暖的人文體會；這樣的補充，是對單元教學路徑的錦上添花。
《古人與圓面積》閱讀資料
《萊茵德紙草書》（古埃及，公元前1850～前1650年成書）第48題。
已給圓田的直徑是9亥特，問，它的面積是多少？答：64塞塔。
解：減去直徑的九分之一，即減去1，餘數為8。8自乘，得64，所以所求面積是64塞塔。（如下圖）
你能寫出解答中的計算過程嗎？(9-1)2=64
如果把這個計算過程推廣為圓面積計算公式，即為S=（8d/9）2，如果把它推導成現在的圓面積的計算模式，即為S=(8*2r/9)2=256/81r2。其中的相當於圓周率，約為3.1605。
這個公式是怎麼得到的呢?
（閱讀材料來源於邵漢民的《小學數學史料與數學教學》）
葉聖陶先生認為，教師的教學要從「教教材」轉向「用教材教」。單元教學路徑微調的嘗試正是我基於學生的「用教材教」的實踐。單元教學路徑的微調是基於學習經驗、學習興趣、學習規律的內容重組、結構整合，也是基於核心素養養成的路徑拓展。而這一切的一切，都只是為了讓「教材的編寫邏輯、學生的探究邏輯、教師的教學邏輯」這三者達成一致，形成教育合力。
關乎單元教學路徑的思辨，我經歷著這樣的煉獄——是怎樣？一定是這樣嗎？還能是怎樣？路徑不是唯一的，它只代表了我對於學生與教材的理解，期待同行的批評指正。
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