代數學發展史: Lie 群與 Lie 代數 IV

2021-02-18 數林廣記
實半單 Lie 代數

本文介紹實半單 Lie 代數的分類歷程, 其中有已故的嚴志達院士的工作.

Killing 得到了復單 Lie 代數的分類, 但沒能實現他想要的實單 Lie 代數和更一般 Lie 代數的分類. 我們經常接觸的空間都是實空間(實線性空間, 實流形), 而研究這樣的空間就需要研究相應的群, 這樣的群自然是實 Lie  群, 其 Lie 代數自然是實 Lie 代數, 也就是說, 這個 Lie 代數是實數域上的線性空間. 實半單 Lie 代數的定義與復半單 Lie 代數如出一轍.

問題 14.18  稱實 Lie 代數

(1)

(2)

(3)

(4)

我們知道復單 Lie 代數分為典型的和例外的兩大類, 它們都可以用矩陣表示.

例 14.19 與

除了上述的

例 14.20 (1) 設

這樣就得到了

(2) 設

這樣就得到了

當然, 上述的雙線性函數的表述也可以用矩陣來寫: 設度量矩陣為

就是相應的 Lie 代數 (

問題 14.21   考慮映射:

(1) 若

(2)

(3)

我們很快會發現, 對合自同構是研究實單 Lie 代數的利器.

典型實單 Lie 代數

用類似的方法可以找出很多實單 Lie 代數, 只要找到複線性空間中的對稱和反對稱雙線性函數的類似物, 實空間的情況要比復空間複雜的多.

(1) 非退化對稱雙線性函數

這有很多類, 取決於其二次型的正負慣性指數. 記

於是得到一類實 Lie 代數

特別地

(2) 非退化反對稱雙線性函數

只有一類, 由此得到

(3) Hermite 型或反 Hermite型

將

保持該 Hermite 型且跡為 0 的矩陣全體為

(4) 上述情形的交集

這樣得到了很多類實 Lie 代數, 其中大部分是單的. 不過, 這離實單 Lie 代數的分類還有很遠的距離. 就如同我們很容易得到

實形式與復化

Cartan 意識到實單 Lie 代數研究需要藉助復單 Lie 代數的分類, 即研究實單 Lie 代數 復化

具體而言, 設

也就是說,

問題 14.22   設

(I) 實形式;

(II) 若

問題 (II) 並不難. 對任意

容易得到

引理 14.23  對任意

(1) (保持括積)

(2) (共軛線性)

這樣的映射稱為 共軛, 類似於通常的復共軛. 如果

由此, 實單 Lie 代數的可以分為如下兩類.

命題 14.24設

(I)

(II)

於是, 實單 Lie 代數的分類歸結為復單 Lie 代數的實形式的分類.

Cartan 的方法

由上述討論容易得到:

問題 14.25 復單 Lie 代數

以此為出發點, Cartan 在 1914 年給出了實單 Lie 代數的分類. 實際上他得到了

命題 14.26   設

(1) 可裂實形式:

其中

(2) 緊實形式:

這兩種實形式在同構意義下是唯一的. 例如對於復單 Lie 代數

Cartan 早就注意到緊實形式, 只是當時他沒有找到合適的方法來避免繁瑣的計算, 直到十幾年以後, 他研究一類特殊的幾何對象時得到了啟發, 提出了利用緊實形式簡化分類過程的方法. 類似地, 利用可裂實形式也可以進行類似的研究.

Riemann 整體對稱空間

1926-1929 年間, Cartan 系統研究了 Riemann 整體對稱空間, 這種空間有超強的對稱性. 設

我們用一個例子來說明吧.

問題 14.27  

不妨記為

這裡還蘊含了一個重要的信息. 利用

不難得到迷向子群

Cartan 對合

Lie  群上的對合自同構

問題 14.28設

(1)

(2) 設

(3) 在 Killing 型下,

(4)

讀者可以自行探討當

Riemann 整體對稱空間可以歸結為不可約對稱空間的研究, 而後者可以歸結為連通實單 Lie 群的研究, 從而歸結為實單 Lie 代數及其對合自同構的研究. 對於非緊的實單 Lie 代數 Cartan 對合, 稱Cartan 分解, 準確的定義為

定義 14.29   設

稱

是正定的.

看一個具體例子.

例 14.30   Lie 群

其中,

對偶

Cartan 分解是實單 Lie 代數分類的強有力的工具. 把

很容易驗證這是一個實 Lie 代數, 它與

問題 14.31 (1)  

(2) .

上述想法可以推廣到一般情形.

問題 14.32 設

(1) 設

於是,

(2) 反之, 設

於是, 給定復單 Lie 代數

定理 14.33   (1) 非緊實單 Lie 代數的 Cartan 對合在共軛意義下是唯一的;

(2) 緊實形式在共軛意義下也是唯一的. 實際上, 如果

於是我們有

定理 14.34   設

Gantmacher標準形

問題轉化為緊單 Lie 代數的對合自同構的分類. Cartan 意識到這種方法可以把他 1914 年的長達 90 多頁的工作簡化為 20 頁左右. 1939 年, Gantmacher 給出了對合自同構的分類.

問題 14.35 設

(1)

(2) 可以選擇

這樣, 分類

嚴圖

利用 Dynkin 圖, 我們很容易描述

問題 14.36   緊單 Lie 代數的外自同構群同構於 Dynkin 圖的自同構群. 除了

接下來是對於內自同構

定理 14.37 設

(1)

(2)

(3)

這樣我們就可以畫出實單 Lie 代數的嚴圖了.

I. Cartan 對合是內自同構, 需要如下步驟:

(1) 首先在

(2) 再將

試舉一例如下.

問題 14.38

從圖中可以讀出, 其中的白點構成

(1)

(2)

II. Cartan 對合

問題 14.39 有非平凡的外自同構時,

此時

在

問題 14.40   設

這是

嚴方法的關鍵之處在於選擇最大緊 Cartan 子代數, 即由

Satake 圖

與嚴先生的想法相反, S. I. Araki 考慮另一種 Cartan 子代數——極大分裂 Cartan 子代數.

在復單 Lie 代數

考慮非緊實單 Lie 代數 限制根系.

在 Dynkin 圖上把在

Satake 圖的優點是可以給出

問題 14.41設

其中

Lie 型單群

在有限單群的分類中, 有一大類 (16 個子類)被稱為 Lie 型單群, 它們就是有限域上的 Lie 群. 這些單群的尋找花費了很長時間. 事後看來, 如果注意到實單 Lie 代數的分類, 這個尋找過程應該會快一點. 總結一下, 16 類 Lie 型單群是用如下方式得到的.

首先, Chevalley 在前人工作的基礎上用統一的方式構造了與所有復單 Lie 代數對應的有限域上的 Lie  型群, 這樣得到

其次, 很多 Lie 型單群被眾多數學家陸續發現. 匯總一下, 不難發現新的 Lie 型單群都與 Chevalley 群的自同構的不動點群有關. 例如

第三, 在特徵為 2 (或 3) 的域上, Dynkin 圖

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