中考壓軸題專題｜含參二次函數這樣解，一點也不難

在之前的文章中我們提到過，含參數的二次函數作為綜合性很強的一大考點，是近年來壓軸題的常客，也是一種「拉分題型」。

一般來說，含參數的二次函數主要考查的是二次函數的圖象和相關的性質，常考的題型有以下五種：

1判斷含參二次函數的大致圖象；

2求含參二次函數與x軸的交點問題；

3求含參二次函數的表達式（或參數的值、參數之間滿足的關係式）；

4含參二次函數的對稱性、頂點和最值問題；

5與含參二次函數相關的範圍問題。

以浙江為例，筆者分析了2019年浙江中考大數據，含參二次函數考查的具體情況如下表：

從表格中可以看到，僅浙江地區2019年中考中，含參數的二次函數的考查次數就多達9次，且多位於選擇題、解答題的壓軸位置進行考查，試題有一定難度，是實至名歸的「壓軸拉分題」。

在之前的文章中，我們已經對第1類與第2類題型進行了方法的歸納與總結（參看往期文章《中考壓軸題專題｜含參數的二次函數解題攻略》）。

今天將繼續對第3類和第4類問題，即求含參二次函數的表達式（或參數的值、參數之間滿足的關係式），以及含參二次函數的對稱性、頂點和最值問題，進行詳細的分析和方法的歸納。

三、求含參數二次函數的表達式

【例1】（2019·寧波）如圖，已知二次函數y=x²+ax+3的圖象經過點P(－2，3)．求a的值和圖象的頂點坐標．

解題思路

把點P(－2，3)代入y=x²+ax+3中，求出a，即可求出二次函數的表達式，再把二次函數的表達式通過配方化成頂點式，即可直接寫出頂點坐標．

解題步驟

解：把點P(－2，3)代入y=x²+ax+3中，

得 3=(－2)²－2a+3 ，解得a=2，

∴y=x²+2x+3=(x+1)²+2

∴圖象的頂點坐標為(－1，2)．

【例2】（2019·杭州）設二次函數y=(x－x₁)(x－x₂)（x₁，x₂是實數）．甲求得當x=0時，y=0；當x=1時，y=0；乙求得當x=1/2時，y=－1/2．若甲求得的結果都正確，你認為乙求得的結果正確嗎？說明理由．

解題思路

將(0，0)，(1，0)代入y=(x－x₁)(x－x₂)求出函數解析式，即可判斷乙求得的結果是否正確．

解題步驟

解：當x=0時，y=0；當x=1時，y=0；

∴二次函數經過點(0，0)，(1，0)，

∴x₁=0，x₂=1，

∴y═x(x－1)=x²－x，

當x=1/2時，y=－1/4，

∴乙求得的結果不正確．

【例3】（2017·杭州）在平面直角坐標系中，設二次函數y₁=(x+a)(x－a－1)，其中a≠0．

（1）若函數y₁的圖象經過點(1，－2)，求函數y₁的表達式；

（2）若一次函數y₂=ax+b的圖象與y₁的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關係式．

解題思路

（1）根據已知，函數y₁的圖象經過點(1，－2)，將點(1，－2)代入二次函數表達式y₁=(x+a)(x－a－1)中，化簡即可得出函數y₁的表達式；

（2）根據已知的交點式二次函數表達式y₁=(x+a)(x－a－1)，易得y₁的圖象經過x軸上點的坐標分別為(－a，0)和(a+1，0)，再將這兩個點(－a，0)和(a+1，0)代入一次函數y₂=ax+b中，即可得出a，b滿足的關係式．

解題步驟

解：（1）函數y₁的圖象經過點(1，－2)，得

(a+1)(－a)=－2，

解得a₁=－2，a₂=1，

函數y₁的表達式y=(x－2)(x+2－1)，化簡，得y=x²－x－2；

函數y₁的表達式y=(x+1)(x－2)化簡，得y=x²－x－2，

綜上所述：函數y₁的表達式y=x²－x－2；

（2）當y=0時(x+a)(x－a－1)=0，解得x₁=－a，x₂=a+1，

y₁的圖象與x軸的交點是(－a，0)，(a+1，0)，

當y₂=ax+b經過(－a，0)時，－a²+b=0，即b=a²；

當y₂=ax+b經過(a+1，0)時，a²+a+b=0，即b=－a²－a．

方法歸納

通過以上3個例題，我們可以總結出，在解決求含參二次函數的表達式（或參數的值、參數之間滿足的關係式）時，可按照以下步驟進行解題：

1不管已知的二次函數是哪種形式，只要將題目已知的二次函數圖象上點的坐標，代入已知的含參二次函數解析式中；

2求出對應的方程（組）的解，進而得出相關參數的值（或參數之間滿足的關係式）；

3最後得出含參二次函數的表達式。

需要注意的是，除了題目已知含參數二次函數的表達式的情況，還有些題目未給出表達式，則需要自己設出二次函數表達式，再代入計算。

而二次函數共有三種形式的表達式，需根據已知靈活地選擇，在此附上根據已知條件選取所設的二次函數表達式形式的方法：

1已知圖象的頂點坐標或對稱軸，通常設頂點式：y=a(x－h)²+k；

2已知圖象與軸的交點坐標(x₁，0)、(x₂，0)，設交點式：y=a(x－x₁)(x－x₂)；

3已知圖象上任意三點的坐標或三組x，y的對應值，設一般式：y=ax²+bx+c。

四、含參二次函數的對稱性、

頂點和最值問題

【例4】（2019·舟山）小飛研究二次函數y=－(x－m)²－m+1（m為常數）性質時得到如下結論：這個函數圖象的頂點始終在直線y=－x+1上．判斷這個結論是否正確．

解題思路

由二次函數頂點式y=a(x－h)²+k的頂點為(h,k)

可以直接寫出二次函數y=－(x－m)²－m+1（m為常數）圖象對應的頂點坐標為(m，－m+1)，再根據求出的頂點坐標的特點判斷即可．

解題步驟

解：二次函數y=－(x－m)²－m+1（m為常數）

∵頂點坐標為(m，－m+1)且當x=m時，y=－m+1

∴這個函數圖象的頂點始終在直線y=－x+1上

故該結論正確．

【例5】（2019·杭州）設二次函數y=(x－x₁)(x－x₂)（x₁，x₂是實數）．寫出二次函數圖象的對稱軸，並求該函數的最小值（用含x₁，x₂的代數式表示）．

解題思路

根據交點式二次函數y=a(x－x₁)(x－x₂)的對稱軸為直線x=(x₁+x₂)/2，可得二次函數y=(x－x₁)(x－x₂)的對稱軸也為直線x=(x₁+x₂)/2，根據a=1>0，此拋物線開口向上，把x=(x₁+x₂)/2，代入y=(x－x₁)(x－x₂)，求出y的值即為函數的最小值．

解題步驟

解：對稱軸為直線x=(x₁+x₂)/2，

∵a=1>0，此拋物線開口向上，

當x=(x₁+x₂)/2時，y=－(x₁－x₂)²/4是函數的最小值．

【例6】（2019·台州）

已知函數y=x²+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點(－2，4)．

（1）求b，c滿足的關係式；

（2）設該函數圖象的頂點坐標是(m，n)，當b的值變化時，求n關於m的函數解析式；

（3）若該函數的圖象不經過第三象限，當－5≤x≤1時，函數的最大值與最小值之差為16，求b的值．

解題思路

（1）將點(－2，4)代入y=x²+bx+c，即可求出b，c滿足的關係式；

（2）用配方法將已知的二次函數一般式y=x²+bx+c，化為頂點式y=(x+b/2)²+(4c－b²)/4的形式， 可得m=－b/2，n=(4c－b²)/4，再根據（1）中求得的b，c滿足的關係式，把n=(4c－b²)/4中的c等量代換成b，此時m，n都是關於b的代數式了，則可求n關於m的函數解析式；

（3）根據y=x²+bx+2b=(x+b/2)²－b²/4+2b，判斷若該函數的圖象不經過第三象限時，結合二次函數圖象的特點，當－5≤x≤1時，函數的最大值與最小值有哪些情況，進行分類討論即可．

解題步驟

解：（1）將點(－2，4)代入y=x²+bx+c，

得－2b+c=0，

∴c=2b；

（2）m=－b/2，n=(4c－b²)/4，

∵c=2b

∴n=(8b－b²)/4，

∴n=2b－m²=－4m－m²；

（3）∵y=x²+bx+2b=(x+b/2)²－b²/4+2b，

∴對稱軸為直線x=－b/2，

當b≤0時，c≤0，若函數圖象不經過第三象限，則c=0；

此時y=x²，當－5≤x≤1時，函數最小值是0，最大值是25，

∴最大值與最小值之差為25；（捨去）

當b>0時，c>0，若函數圖象不經過第三象限，則Δ≤0，

∴0<b≤8，

∴－4≤x=－b/2≤0，

當－5≤x≤1時，函數有最小值－b²/4+2b，

當－5≤－b/2<－2時，函數有最大值1+3b，

當－2<－b/2≤1時，函數有最大值25－3b；

函數的最大值與最小值之差為16，

當最大值1+3b時，1+3b+b²/4－2b=16，

∴b=6或b=－10，

∵4<b≤10，

∴b=6；

當最大值25－3b時，25－3b+b²/4－2b=16，

∴b=2或b=18，

∵2≤b≤4，

∴b=2．

綜上所述b=2或b=6．

方法歸納

從以上3個例題不難得出，要解決和含參二次函數的頂點、對稱性、最值有關的問題，關鍵在於熟練掌握二次函數三種表達式對應的對稱軸、頂點坐標和最值的公式，再結合二次函數圖象的特點，進一步分析即可．

最後特別強調以下兩點：

1在求二次函數最值的時候，如果題目限制了自變量的取值範圍，一定要結合該範圍內對應的圖象，當無法確定函數圖象時，還需要分類討論。

2如果公式太多記不住，也可減少背誦的部分，只要熟記二次函數三種表達式對應的對稱軸直線方程，則可知頂點的橫坐標，再把頂點的橫坐標代入對應的函數表達式，即可求頂點的縱坐標，若求函數最值的時候，未限制自變量的範圍，縱坐標的值即為該函數對應的最值。

從以上2個不同類型的含參二次函數問題，我們容易得出，不管哪類問題，一定要熟練掌握二次函數三種表達式對應的對稱軸、頂點坐標和最值的公式。

而這其中又以對稱軸為最重要，另外仍然要掌握參數與二次函數的圖象、性質之間的關係，會解對應的方程或方程組及進行和字母相關的運算。掌握了這些知識，含參數的二次函數壓軸題，定能迎刃而解。

來源/創課教研院

文稿/黃小英

編輯/任雨晨