從一元微積分基本定理出發得到矩形下的格林公式

2020-12-10 電子通信和數學

格林定理的解釋和說明有很多,今天我們從一種很少見的方式出發,來得到格林定理

我們從微積分基本定理出發,我們可以把它寫成這種形式,如下

兩個變量中相應的表達式由兩個變量函數的偏導數在矩形上的二重積分組成。具體來說,考慮這個矩形

令q(x, y)∈包含矩形r的域中:我們得到

我們首先沿著每條水平線y = t積分,得到關於t的函數

對於一個固定的t值,qx(x, t)的偏導數可化為函數f(x) = q(x, t)關於x的普通導數,由式(25.1)可知,

我們得到

以完全相同的方式,p/y,其中p(x, y)∈R,我們同樣會得到:

通過觀察(25.3)和(25.4)的右側實際上是矩形R邊界的一部分上的線積分,R的邊界可以被描述為分段光滑曲線C組成的四個線段(圖25.5)

注意這些線段是有方向的,這樣在連續環繞了一圈,它們就形成了閉合曲線C,從(a, C)處開始,到(a, C)處結束,現在(25.3)的右邊由兩個∫q dy的線積分組成,它們是R的兩個垂直邊,而且方向相反

因為在水平側C1和C3上有dy /dt=0

由此可見

以同樣的方式,我們有

觀察C1和C3的方向,我們可以把(25.4)寫成這種形式

綜合上述的結論,得到矩形形式下的格林公式

由此得到

上述的形式正好可以寫成如下形式

相關焦點

  • 新發現:一元微積分基本定理與格林公式之間存在著強大的數學關係
    格林公式是高等數學中的重要內容,但是要理解他,需要你掌握一元微積分和偏導數的所有內容,格林公式是非常有趣的,而且充滿了數學的魅力,今天我們拋開複雜的數學推導,僅從微積分的基本定理和圖形來向你展示格林公式的原理:
  • 微積分基本定理與格林公式之間存在著強大的數學關係
    格林公式是高等數學中的重要內容,你要理解它,就需要掌握一元微積分和偏導數的所有內容,格林公式是非常偉大的發現,而且充滿了數學的奧妙,本篇我們就從微積分的基本定理和圖形來解釋格林公式的本質原理:如下這幅動態圖很巧妙地展示了格林公式的奧秘
  • 將微積分基本定理中的牛頓-萊布尼茲公式寫成散度定理的形式
    我們知道,閉合曲線下的格林公式,和封閉曲面下的高斯散度定理,它是許多自然科學最基本的定理和基石。對於這些定理的討論有很多文章和解答,本篇我們不再討論,而是將其延伸,都知道一元微積分最基本的公式,即牛頓-萊布尼茲公式,如下圖,如果將其用散度表示出來,是什麼樣式,你想過嗎?
  • 微積分基本定理的含義
    微積分基本定理的可表示為函數的定積分的值等於原函數在積分區間端點處的函數值之差。直接看到公式,可能不能很直觀地理解其含義。假如我們把x當作時間、f(x)當成隨著時間變化的速度,函數f(x)的定積分就是曲邊梯形的面積,代表整個區間內的位移,也就是位移函數F(x)在兩個時間點的函數值之差。
  • 數學史上最重要的證明之一:微積分基本定理證明
    第0部分:非正式表述微積分基本定理告訴我們,如果我們將F(x)定義為F(t)圖像下在0到x之間的面積,那麼F(x)的導數就是f(x)讓我們來理解一下這是什麼意思。下面是一條紅線,這是我們的函數f,我們想求出0到x之間的面積。
  • 【積分與微積分基本定理】- 微積分的本質 08
    先來看下視頻吧.在數學中, 我們經常會用一長串的公式來證明某個事實. 卻並沒有在行動之前就想想我們證的東西是不是至少在直覺上更合理更明顯.這期視頻裡我要談一談積分, 這裡說明的顯而易見的就是積分其實是求導的逆運算. 我們就拿一個第二章用來介紹導數時候開車的例子來仔細分析.
  • 微積分基本定理的理解
    也叫牛頓-萊布尼茲公式,通常也被稱為微積分基本定理,揭示了定積分與被積函數的原函數之間的聯繫
  • 一個比喻搞懂「微積分基本定理」
    以積分的定義來說, 我們要進行分割、 近似、 求和、 取極限的步驟, 有時還要搭配和差化積公式、 有時要改變分割方式, 或者改變取樣方式. 如此耗費工夫又難寫, 等你做完一題積分, 秦始皇都已經把萬裡長城蓋好了.
  • 數學新視野:我們將牛頓-萊布尼茲公式用散度定理表示出來
    牛頓-萊布尼茲公式之所以偉大,是因為它是二重積分,三重積分,格林公式,斯託克斯公式的基礎,本篇我們就將微積分基本定理用散度的形式表示出來,這是大家很少看到的,也會幫助你更好的理解散度的原理微積分基本定理中,我們都知道如果f(X)在[a,b]上可微,那麼就存在
  • 從一元微積分出發得到二重積分的空間結構原理
    一元微積分的性質概念大家耳熟能詳,就是將處於二維上的一個不規則的物體分成無限小塊,最後求黎曼和,所以一元微積分的所表述的幾何概念就是求面積。如下圖形形象直觀地描述了這一幾何性質。那對於二重積分呢,就是在一元微積分的基礎上增加了一個積分符號,也就增加了一個面,從此把二維空間變成了三維空間,即X,Y,Z坐標空間,一目了然面積的疊加就是體積,所以二重積分的幾何意義就是求體積,如下面積乘以微小的高度dy就得到了這個微小塊的體積,上面只是一個微元小塊的體積,但對於一個龐大的不規則的物體,我們怎麼來求它的體積呢
  • 教學研討|1.6 微積分基本定理
    一、內容與內容解析本節課選自人教A版選修2—2第一章《導數及其應用》第六節第一課時。       本節共分兩部分:第一部分是微積分基本定理的推理生成過程;第二部分主要讓學生熟悉微積分基本定理的使用,著重說明定積分值與曲邊梯形面積的關係,為下一節習定積分的簡單應用奠定基礎。而第一部分重在讓學生在探究過程中學會研究某些數學問題的過程與方法.作為本節內容的第一課時,重點在後者.特別是,本節課內容是體現新課程讓學生積極動手實踐、自主探索、合作交流學習方式的良好素材.
  • 2018考研高數重要定理證明:微積分基本定理
    該部分包括兩個定理:變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。   變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續,結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉,並用積分上限替換被積函數的自變量。
  • 數學視野:對格林公式最精最全的解讀
    格林公式是多元微積分達到頂峰時的四個主要定理之一如下你在四個子區域的邊界上積分,積分會沿著R內部的切點全部抵消掉在一個公式中,這意味著所有四個子區域的線積分之和等於整個區域的線積分但由於這是一個非常小的部分,這裡用另一個多變量微積分概念來衡量流體的旋轉:旋度。
  • 【微積分基本定理】圖解普林斯頓微積分 14
    第 17 章 微積分基本定理(The Fundamental Theorems of Calculus)17.1 用其他函數的積分來表示的函數考慮積分
  • 最具啟發性的證明:用微積分基本定理推導出泰勒公式
    大多數微積分教科書都會用到泰勒定理(帶有拉格朗日餘項),並且可能會提到它是均值定理的推廣。泰勒定理的全部一般性證明可能很短,但不是很有啟發性。幸運的是,一個僅基於微積分基本定理的非常自然的推導對於大多數函數來說是必需的。
  • 探討最基本的微積分問題,初中生也能看懂
    有兩個謎題讓古代的數學愛好者夜不能寐:1)曲線下的面積;2)曲線在一點上的斜率。在本文中,我們將逐步深入地探討這兩個問題。然後我們會回到求曲線斜率的微積分方法上來。古代的兩個問題:曲線下的面積和曲線上一點的斜率。
  • CFD理論掃盲|03 向量微積分
    CFD理論中的數學公式很多都可以用向量來表示。因此,掌握向量微積分的基本公式是很有幫助的。
  • 數學漫步:直覺下的微分和積分
    這篇文章試圖提供積分微積分的一個直觀的觀點,並詳細說明積分的用途。經典的積分其實並不是計算曲線下的面積。在中學,我們都學會了如何計算各種規則和不規則多邊形的面積。我們還學習了求圓和橢圓面積的公式。但是如何計算其他曲線的面積呢?如何求曲線函數下的面積,比如下面這個?
  • 用Python學微積分(微積分應用)
    一、分割 分割是微積分方法的第一步,也是微積分應用中非常重要的一步。算法中有「分而治之」的策略(Divide-and-conquer algorithms),微積分的「分割」也正暗合這種思想。另外所謂「微觀化」,通俗理解就是取待研究的對象的一小部分作為單元,放大了仔細研究,找出特徵,然後再總結整體規律。而微積分的「分割」也正是這個「取一小部分作為單元」。
  • 《簡單微積分》:背公式不是必須的
    無須背誦公式、煩瑣計算 僅用「閱讀」理解微積分原理 豐富圖解 親切解說 傳授日本微積分入門的「巧妙思路」 微積分的本質在於方法。簡單說,如果抓住思考的「要領」,那麼能輕而易舉地理解複雜算式。相反,如果不能掌握思考要領,直接從計算技術入手的話,微積分的學習便如同咀嚼沙子一般變成了苦澀的修行。