問題1 不單調的函數是否一定沒有反函數?

2021-02-19 大學數學教書匠

    同學們好，從今天開始，我建立一個專輯《高數問答》，和大家一起學習高等數學中的一些容易混淆或者比較難以理解的問題。

    

    問題1  我們已經知道，（嚴格）單調函數必然存在反函數，那麼不單調的函數呢？不單調的函數是否一定沒有反函數？

    

    答：不是。    

    

    一個函數是否存在反函數，取決於它的對應法則在定義域和值域之間是否構成一一對應的關係。如果是一一對應，那麼必然存在反函數，否則就沒有反函數。

    函數（嚴格）單調只是一種特殊的一一對應關係，因此（嚴格）單調僅僅是函數存在反函數的充分條件，而不是必要條件。

    相應的反例還是比較容易給出的。

    雖然嚴格單調並不是函數存在反函數的充分必要條件，但在高等數學中，我們所常見到的存在反函數的函數大都是嚴格單調的，比如指數函數是嚴格單調的，又如具有周期性的三角函數sin x，cos x，tan x， cot x，則是在它們的單調區間上定義的反函數arcsin x，arccos x, arctan x, arccot x等。

    事實上在判斷函數是否具有反函數時，有時候我們反而還會把嚴格單調性這個條件加強，比如函數的導數恆正或恆負，從而函數嚴格增加或嚴格減少，因而具有反函數，等等。

    關注我，有問有答，學好高數。

    

     

相關焦點

  • 反函數與反三角函數
    五、與反三角函數有關的反函數舉例解：該函數在其定義域內單調遞增，因此有反函數。六、複合函數的反函數這裡我們通過一個稍複雜的函數來鞏固一下這個問題：解：這裡仍然要先考慮它的單調性。這裡為方便起見我們直接畫出圖象：可以清楚地看到，該函數在其定義域上是單調遞增的，因此反函數存在。
  • 函數存在反函數的條件是什麼?
    1.存在反函數的條件是不是任何一個函數都存在反函數呢？不是。一個函數的定義域若是一個區間，則該函數存在反函數的充要條件是函數在定義域內嚴格單調。圖1.反函數判斷顯然只有圖（B）的函數才有反函數。需要注意的是，圖（C）的函數是遞減函數，但不是嚴格遞減，因此不存在反函數。
  • 22考研|函數與反函數
    小可愛們碎片化的時間裡，常來這裡學習哦~接下來我們進入主題吧~1.函數的定義設x與y是兩個變量,D是一個給定的數集,若對於每個值x∈D,按照一定的法則f,有一個確定的值y與之對應 ,則稱y為x的函數,記作 y=f(x)。稱x為自變量,y 為因變量。
  • 關於函數、反函數、三角函數、反三角函數、雙曲函數的補充知識
    本文由公眾號「數學學習之友」原創， 歡迎 分享最近幾年高中數學教材教學改革後，導致一些省、區的同學在高中學到的三角函數、反三角函數知識與大學數學教材知識對接不上
  • 理解什麼是反函數,從反函數的定義出發
    函數是兩個集合之間的映射，每個自變量值只能對應一個函數值。數學中有很多「求逆」的思想，函數中也不例外。已知函數y=f(x)是x到y的映射。如果已知y，能得到對應的x，那麼y到x也可看作一個映射，但是一個y並不一定只對應一個x，不一定滿足函數的定義。為了使其滿足函數的定義，假設一個y也只對應一個x，可將其映射寫做x=g(y)。我們習慣把x當作自變量，y當作函數值，將x與y位置互換，可得y=g(x)。稱滿足上述定義的y=g(x)與y=f(x)互為反函數。
  • 高中函數不知道怎麼學?函數定義域,值域,單調性求法最全總結
    什麼樣的函數有單調性？是不是所有的函數都有單調性呢？答案是否定的。那麼什麼樣的函數才有單調性呢？咱們給出概念：假設f(x)在其定義域內，任意取兩個點(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))，假設x 1>x 2，總是有f(x 1)>f(x 2)則f(x)為單調遞增。
  • 中考函數重點講解,如何求一次函數與反比例函數綜合問題
    中考數學，一次函數圖像與反比例函數相關問題，典型例題分析1：平面直角坐標系中，直線AB交x軸於點A，交y軸於點B 且與反比例函數圖象分別交於C、D兩點，過點C作CM⊥x軸於M，AO=6，BO=3，CM=5．求直線AB的解析式和反比例函數解析式。考點分析：反比例函數綜合題；函數思想。
  • 你知道反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質嗎?
    一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f-1(y) 。反函數x=f -1(y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數，三角函數和反三角函數等。
  • 單調函數性質(二)
    一定是想搜「數學分析」的孩子們莫名其妙地看到老學姐這個號，一激靈就關注了哈哈，謝謝你們的支持，我會繼續寫題的~~~歡迎你們留言提問！首先粘上單調函數性質（一）的同理部分證明，如下：所以說單調函數性質（一）告訴我們：單調函數的不連續點只可能是第一類不連續點，更確切的說，是跳躍間斷點。這裡老學姐帶大家重新梳理一下間斷點的類別（說實話，這東西沒用，但是很拽的....），見圖——
  • 高等數學入門——反函數的求導法則及反三角函數的導數公式總結
    系列簡介：這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋。
  • 【反函數和反三角函數】圖解普林斯頓微積分 09
    第10 章反函數和反三角函數10.1 導數和反函數第一章就回顧了反函數的基本知識, 可以快速地再看下.
  • 反函數還能與二重積分這樣結合出題!
    圖1. f(x)與g(x)是否互為反函數？1.反函數相信很多人想到反函數，第一反應是兩個曲線關於直線y=x對稱。但其實這點只是反函數的一條性質，而不是反函數的全部。何為反函數？函數f(x)存在反函數的充要條件是x與y是一對一的，即一個x對應一個y，同時一個y也只對應一個x。根據這個條件，很明顯圖(1)中f(x)和g(x)不是互為反函數。
  • 函數複雜不要緊,單調尋值才是真——含複雜函數的不等式
    關鍵詞：複雜函數，解不等式規律：函數的解析式越複雜越變態則越沒用，目的就是確定單調性，或確定某一函數值對應的自變量的數值不說話這個題目含有一個看似非常複雜的函數，它既不是奇函數也不是偶函數，求導也非常不方便，畫圖也不好使，上邊一部分不知道如何畫！那是不是就沒辦法解了呢？
  • 反函數在指對數解題中的應用
    y=x對稱，且定義域和值域可以互相轉化，最常見的題型為求某個函數的反函數，但很多函數的反函數並不能直接求出來，在高考中有的題目用反函數的思想去解會更加簡單。題目用同構來解很簡單，如果對題目做以下變形：能發現不等式左右兩側的函數互為反函數
  • 「高中數學」「知識點」聊聊反三角函數
    我們首先必須要明確，只有滿足一一對應的函數才會有反函數，顯然y=sinx是一個周期函數，不可能滿足一一對應，比如y=0時，只要x=kπ（k∈Z）時就可以滿足。所以直接說y=arcsinx是y=sinx的反函數是不準確的。
  • [專題輔導]談高中函數之反函數
    所謂反函數就是將原函數中自變量與變量調換位置，用原函數的變量表示自變量而形成的函數。通俗點即原函數：y=3x-1 反函數：。由此可以得出解決反函數的第一種方法：反表示法。就是將原函數反表示後，再寫成函數形式。
  • 數學得分高,函數很重要!關於函數的疑難問題,答案都在這裡!
    學習哥請名師：先搞定指數的運算，再搞定指數函數的圖像，圖像很簡單的，單調函數，所以說多練習一下吧，不是因為難，是因為不熟悉，二次函數可比它難多了。問題6：數學的函數，導數怎麼能學好啊？問題19：複合函數同增異減求單調性是什麼意思啊？學習哥請名師：外層函數和內層函數單調性相同則單調遞增，外層函數和內層函數單調性相反則單調遞減。
  • 反函數趣談
    二、反函數的一些特別明顯的性質1、原函數與反函數互為反函數。（反函數的反函數是原函數）4、原函數與反函數關於y=x對稱原函數的點(x,y)，對應的反函數上的點為(y,x)，關於y=x對稱5、原函數與反函數單調性相同三、複合函數的反函數
  • 30年考研數學真題分類解析|專題一:反函數與複合函數
    真題及解析【分析】分段函數的複合函數。主要注意函數複合過程中，內層函數的值域與外層函數的定義域的交集非空。【分析】本題主要是要弄清楚反函數和原函數的定義域、值域之間的關係.【評註】從2002年至今差不多20年，考研數學在反函數與複合函數部分並沒有單獨出題。但近些年考研數學都出現了多年未見的題型，如2018年數學一的假設檢驗，2020年數學一求函數解析式。2021年考研數學會不會在分段函數的複合函數及反函數方面習題呢？
  • 【硬核乾貨】反函數的這些知識點,你知道多少???
    ：一般地，對於函數y=f(x)，設它的定義域為D，值域為A，如果對A中任意一個值y，在D中總有唯一確定的x值與它對應，且滿足y=f(x)，這樣得到的x關於y的函數叫做y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y)，通常為了與習慣一致，我們對調函數x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x)