函數存在反函數的條件是什麼?

提起反函數，大部分人的第一反應就是函數與其反函數關於直線y=x對稱。但是僅僅知道這一點是不夠的，尤其對於備戰考研的同學來說，很容易忽視、輕看反函數。

1.存在反函數的條件

是不是任何一個函數都存在反函數呢？

不是。一個函數的定義域若是一個區間，則該函數存在反函數的充要條件是函數在定義域內嚴格單調。

請看圖1，根據定義，不妨嘗試判斷下哪個函數具有反函數？

圖1.反函數判斷

顯然只有圖（B）的函數才有反函數。需要注意的是，圖（C）的函數是遞減函數，但不是嚴格遞減，因此不存在反函數。

前面為什麼要強調一個區間呢？這是因為假設一個函數就一個點，如f(x)=x，定義域為x=1，那沒有所謂的嚴格單調之說了，這個函數也存在反函數。當然在現實中，討論一個點的函數沒有多大意義。

2.三角函數的反函數

三角函數的反函數，稱為反三角函數。以正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數為例進行說明。

圖2是上述四個三角函數的圖像。

圖2.函數sinx，cosx，tanx和cotx圖像

小編在第1節中講過，函數f(x)存在反函數的充要條件是在定義域內嚴格單調。顯然，對於三角函數而言，不能說整個定義域內存在反函數，而是在一段區間內，談論對應的反函數。

正弦函數sinx在區間[-П/2,П/2]內存在反函數，並記為反正弦函數arcsinx。

餘弦函數cosx在區間[0,П]存在反函數，並記為反餘弦函數arccosx。

正切函數tanx在區間[-П/2,П/2]存在反函數，並記為反正切函數arctanx。

餘切函數cotx在區間[0,П]存在反函數，並記為反餘切函數arccotx。

圖3對比了三角函數與反三角函數的定義域與值域。

圖3.三角函數與反三角函數的定義域與值

從圖3可以看出，當函數存在反函數時，函數的定義域是反函數的值域；函數的值域是反函數的定義域。並且都是在一段緊鄰原點的嚴格單調區間內談論的三角函數的反函數。

3.反函數的一階和二階導數

在考研中，重要但容易被人遺忘的是關於反函數的一階和二階導數。

下面是關於反函數的一階和二階導數公式的推導過程。

關於反函數的一階和二階導數，小編強烈建議大家要親自推導一遍，這對大家理解隱函數的求導多有助益。

4.其它性質

函數與其反函數關於直線y=x對稱。體現這條性質的最常見、最熟悉的兩個函數是：

這條性質主要用於從圖形中判斷兩個函數是否互為反函數。但實際上更重要的是另外一條性質，如下所示：

比如下面這道題就用到了上面這條反函數的性質：

大家試試解決這個題目吧！