許多評價問題的評價對象具有多屬性、結構複雜等特點，難以完全採用定量方法或簡單歸結為費用、效益、有效度等進行優化分析，也難以在任何情況下，做到使評價項目具備單一層次結構屬性。這時就需要建立起多要素、多層次的評價系統，並採用定性與定量有機結合的方法或通過定性信息定量化的途徑，使複雜的評價問題明朗化。基於此背景之下，美國運籌學家、匹茲堡大學教授T.L.薩迪(T.L.Saaty)於20世紀70年代初提出了著名的AHP( Analytic Hierarch Process)方法。
層次分析法(AHP)是一種定性與定量分析方法相結合的綜合性評價方法。它改變了長期以來決策者與決策分析之間「你搞你的、我行我的」這種難於溝通的狀態。在大部分情況下，決策者可直接使用AHP進行決策，從而能大大提高決策的有效性、可靠性及可行性。該方法的主要思想是通過將複雜問題分解為若干層次和若干因素，對兩兩指標之間的重要程度做出比較判斷，建立判斷矩陣，通過計算判斷矩陣的最大特徵值以及對應特徵向量，就可得出不同方案重要性程度的權重，為最佳方案的選擇提供依據。
（一）分析系統中各因素之間的關係，建立系統的遞階層次結構。
應用AHP分析社會、經濟以及科學管理領域問題，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個層次分析的結構模型。在這個結構模型下，複雜問題被分解為人們稱之為「元素」的組成部分。這些元素又按其屬性分成若干組，形成不同層次。同一層次的元素作為準則對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次的支配。這些層次大體上可分為以下三類：
最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預定目標或理想結果，因此也稱目標層；
中間層：這一層次包含了為實現目標所涉及的中間環節，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準則、子準則，因此也成為準則層；
最底層：表示為實現目標可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。
上述各層次之間的支配關係不一定是完美的，即可以存在這樣的元素，它並不支配下一層次的所有元素而僅支配其中部分元素。這種自上而下的支配關系所形成的層次結構，我們稱為遞階層次結構。一個典型的層次結構表示如圖1.1所示。
遞階層次結構中的層次數與問題的複雜程度以及問題需分析的詳盡程度有關，一般層數可以不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個，這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。一個好的層次結構對於解決問題是極為重要的，因而層次結構必須建立在決策者對所面臨的問題有全面深入的認識基礎上。如果在層次的劃分和確定層次元素間的支配關係上舉棋不定，那麼最好重新分析問題，弄清各元素間的相互關係，以確保建立一個合理的層次結構。
(二)對同一層次的各因素關於上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較判斷矩陣。
在建立層次結構後，上下層次之間元素的隸屬關係就被確定了。假定以上一層元素C為準則，所支配的下一層次的元素為u1，u2…un，我們的目標是要按照它們對於準則C的相對重要性賦予相應的權重。當u1，u2…un對於C的重要性可以直接定量表示時，它們相應的權重可以直接確定。但是對於大多數社會經濟問題，特別是比較複雜的問題，元素的權重不容易直接獲得，這時就需要通過適當的方法導出它們的權重，AHP所用的方法就是兩兩比較的方法。
在這一步中，決策者要反覆回答的問題：針對準則C，ui和uj兩個元素中哪個更重要，重要程度如何，並按1~9比例標度對重要性程度賦值。下表中列出了1~9標度的含義。
這樣對於準則C，n個被比較的元素構成了一個兩兩比較判斷矩陣：
其中aij就是元素ui和uj相對c的重要性的比例標度。顯然判斷矩陣具有下述性質：
我們稱判斷矩陣A為正互反矩陣。它所具有的性質使我們對n個元素的判斷矩陣僅需給出:
在特殊情況下，判斷矩陣A的元素具有傳遞性，即滿足等式：
一般地我們並不要求判斷矩陣滿足這種傳遞性。當此式對A的所有元素均成立時，判斷矩陣A稱為一致性判斷矩陣。
(三)由判斷矩陣計算被比較元素對於該準則的相對權重
在這一步我們要根據n個元素u1，u2…un，對於準則C的判斷得到矩陣A，求出它們對於準則C的相對權重w1，w2…wn。相對權重可寫成向量形式，即：
這裡我們要解決兩個問題，一個是權重計算方法，另一個是判斷矩陣一致性檢驗。
（1）權重計算方法
存在不同的計算權重的方法，主要有以下幾種方法。
對於一個一致性的判斷矩陣，它的每一列歸一化後就是相應的權重向量。當A不一致時，每一列歸一化後近似於權重向量，求和法就是採用這n個列向量的算術平均作為權重向量。
因此有：
如果我們將A的各個列向量採用幾何平均，然後歸一化，得到的列向量就是權重向量。
其公式為：
這裡入max是A的最大特徵根。所得到的W經歸一化後就可以作為權重向量。這種方法稱為特徵根法，簡記為EM。特徵根的方法在AHP中有特別重要的理論意義及實用價值。
層次分析法解決實際問題時，採用了多種計算方法來求權重向量，再綜合分析，得出的結論可以避免用一種方法產生偏差，得出的結果更有效、更全面。在實際應用中，最小二乘法求出的結果推出的結論和另外三種方法的得出的結論有細微的差別。我們在解決這個問題時，如果是用了最小二乘法，結果就會有偏差。所以綜合運用方法更加可靠。
在計算單準則下排序向量時，還必須進行一致性檢驗。前面我們已經提到了在判斷矩陣的構造中，我們並不要求判斷矩陣具有一致性。這是由客觀事物的複雜性與人的認識的多樣性所決定的。但判斷矩陣既是計算排序向量的根據，那麼要求判斷矩陣有大體上的一致性是應該的。上面提到的排序向量的計算方法都是一些近似的算法。當判斷矩陣偏離一致性過大時，這種近似的可靠程度也就值得懷疑了。因此需要對判斷矩陣的一致性進行檢驗，其步驟如下：
1.計算一致性指標CI( consistency ratio)
2.查找相應的平均隨機一致性指標RI(random index )
3.計算一致性比例CR( consistency ratio)
當CR<0.1時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。當CR≥0.1，時應該對判斷矩陣作適當的修正。對於一階、二階矩陣總是一致的，此時CR=0。為了檢驗一致性，必須計算矩陣的最大特徵跟。這可以在求出W後，用公式
(四) 計算各層次元素對系統目標的合成權重，並進行排序。
上面我們得到的僅僅是一組元素對其上一層中某元素的權重向量。我們最終是要得到各元素對於總目標的相對權重，特別是要得到最底層中各方案對於目標的排序權重，即所謂「合成權重」，從而進行方案選擇。合成排序權重的計算要自上而下，將單準則下的權重進行合成，並逐層進行總的判斷矩陣一致性檢驗。
隨著科學技術的發展，AHP的理論研究和應用得到了快速的發展，涉及到的領域以及問題相當多樣化，其中一致性理論、標度理論、排序方法、不確定AHP研究、靈敏度分析，以及與其它決策方法的結合研究取得了很多研究成果。
判斷矩陣的一致性問題是AHP的核心問題。若判斷矩陣不具有一致性，則將判斷矩陣導出權重作為決策依據的可靠性得不到保證。Saaty提出用一致性比例CR來檢驗判斷矩陣是否具有一致性， 即若CR≤0.1，則判斷矩陣具有滿意一致性，否則該判斷矩陣不具有滿意一致性。到目前為止，用CR來檢驗判斷矩陣的一致性應用最為廣泛，但有學者認為用0.1作為臨界值缺乏理論依據。不少學者對一致性指標定義也提出了疑義，但均沒有提出更合理的檢驗方法和更具說服力的臨界值指標。同時很多學者就判斷矩陣的一致性改進方法進行了研究，一般採用數學變換將判斷矩陣轉變為一致性矩陣，但沒有在改進模型中考慮保持決策者的原始判斷信息，而對判斷矩陣的調整來說，保持決策者原始判斷信息至關重要，否則改進方案可能無法反映決策者真正的偏好，導致所得到的結果與實際情況不相符。
標度是量化定性判斷的一種尺度，其內涵不僅僅是賦予每個重要程度定性表現的定量數值，更重要的是其定量值應符合各定性重要程度之間的相互關係。到目前為止，人們已提出多種標度，較典型的標度有：1~9標度；0~2標度；-1~1標度；-2~2標度；0~1標度；指數標度：0.1~0.9標度；9/9~9/1標度；10/10~18/2標度。1~9標度具有較強的心理學基礎，應用最廣泛，缺點是可能導致判斷矩陣一致性與思維一致性不等價。0~2標度和-1~1標度是三標度法，應用簡單，容易被決策者接受，但需要進行複雜的數學變換，難免信息損失；-2~2標度是0~2標度的變形，具有0~2標度的特點。0~1標度引入模糊數學理論，能較好地解決判斷矩陣一致性問題，但也屬於三標度法，同樣存在信息量不足問題。指數標度也有一定的實驗心理學基礎，但其可讀性、可用性、規範性要求較高，不易推廣。0.1~0.9標度作為互補判斷矩陣的典型代表，越來越受到人們的重視，其繼承了1~9標度的優勢，發揚了0~1標度法的長處。9/9~9/1標度和10/10~18/2標度本質上是1~9標度的變形。
不同標度可能產生不同的方案排序，從而直接或間接地影響著人們的決策。因此，對各種標度進行分析研究與比較評價，無論是對AHP的理論發展和實際應用都是有意義的。
面對複雜的決策問題，試圖完全用數學模型進行精確刻畫是不現實的，即使對某些問題可行，但求解與分析也是非常困難的。因此，從20世紀90年代開始，人們就藉助新發展的信息技術來處理或支持處理複雜的決策問題。由於AHP是處理定性、定量多屬性決策問題的有效方法，因此有必要將處理不確定信息的理論引入到AHP中來，以便進一步發展AHP，增強AHP方法的適用範圍。現有研究範圍包括：區間數判斷矩陣，不完全判斷矩陣和新的不確定性理論在AHP中應用。同時在解決不確定決策問題時，粗集理論、灰色數學理論、證據理論等不確定理論也得到了應用。
隨著不確定性理論的不斷發展，以及解決決策問題的需要，AHP的不確定背景下的應用將逐步增多，所支持的不確定性理論工具也將逐步增多。
AHP的排序方法大致分為近似計算和最優化排序兩大類。近似計算排序方法包括：列和求逆歸一化方法、行和歸一化方法、和積法、方根法、特徵根法等。最優化排序方法包括：最小二乘法、對數最小二乘法、幾何最小二乘法、混合最小二乘法以及二次規劃方法等。為了解決判斷矩陣受擾動的情況，有學者採用了將判斷矩陣轉化成偏好矩陣的方法，然後求解轉化後的矩陣的權重進行排序。
判斷矩陣的靈敏度分析一般研究兩個方面的問題：(1)當判斷矩陣受擾動時的排序向量及一致性的變化。在決策者進行決策時，往往得不到完全一致的判斷矩陣，而可以看作是完全一致的判斷矩陣受到一定擾動而形成的。(2)在保持原有排序不變的情況下，判斷矩陣元素可以變化的範圍。如果元素在一定範圍之上進行變動但排序依然不變，則能使決策者更加確信方案的排序。基於現有文獻的研究成果，可以歸納出解決AHP靈敏度分析的常用思路。
(1)採用數學手段，分析特徵值、特徵向量和特徵多項式。這類方法需要較強的數學基礎，應用複雜。
(2)採用特定的排序方法研究。在保持原有排序不變的情況下元素可以變化的範圍，比如採用幾何平均法、列和平均法等較為簡單的方法，但是這些權重方法本身的合理性尚沒有得到保證，並且不同的排序方法有不同的計算結果，這是採用這類方法的主要缺點。
領域包括經濟計劃和管理、能源政策和分配、人才選拔和評價、生產決策、交通運輸、科研選題、產業結構、教育、醫療、環境、軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。層次分析法在安全科學和環境科學領域也有廣泛應用。在安全生產科學技術方面主要應用包括煤礦安全研究、危險化學品評價、油庫安全評價、城市災害應急能力研究以及交通安全評價等；在環境保護研究中的應用主要包括：水安全評價、水質指標和環境保護措施研究 、生態環境質量評價指標體系研究以及水生野生動物保護區汙染源確定等，應用十分廣泛。
在實際運用中，為了解決AHP的一些缺陷，學者們對層次分析法也進行了一些衍生。包括：模糊層次分析法，改進層次分析法，區間層次分析法，改進模糊層次分析法，灰色層次分析法。
1、模糊層次分析法
模糊層次分析法是將層次分析法和模糊綜合評價結合起來，使用層次分析法確定評價指標體系中各指標的權重，用模糊綜合評價方法對模糊指標進行評定。
AHP中的關鍵環節是建立判斷矩陣，從而將決策者對複雜系統的決策思維實行數量化。通過分析，我們發現：（1）判斷矩陣的一致性指標難於達到。（2）判斷一致矩陣的一致性與人類決策思維的一致性存在差異。為了解決上述問題，我們引入模糊一致矩陣，對AHP進行改進，從而得到實用有效的模糊層次分析法(簡稱FAHP)。
2、改進層次分析法
改進層次分析法是指利用層次分析法的原理建立綜合評價模型，然後提出新的指數標度或評價方法。秦波濤等(2002)在綜合評價礦山的安全性時，根據實際情況對層次分析法指數標度及評價進行了改進，應用改進的層次分析法能夠更全面地反映礦山的安全狀況。
3、區間層次分析法
AHP建立模型使用的是傳統數學方法，處理的數據是點數據，而現實的社會經濟系統則是柔性系統，所研究的問題是柔性問題，用傳統的數學方法描述未必有效。在管理工作中，由於信息不完備，人們作決策時，往往會出現判斷不確定的情況。用傳統精確的AHP方法處理不確定性問題，顯然是不合適的。AHP將測度理論引入社會經濟系統，用相對標度代替絕對標度，並充分利用人的經驗和判斷能力，其比例標度採用1~9之間的整數及其倒數，符合人們進行判斷時的心理習慣，但對不確定性的判斷，採用區間標度則更為適用。其判斷矩陣以區間判斷矩陣給出，然後由區間判斷矩陣導出被比較元素的權值區間，計算出各層元素的組合權重區間。辛晶（2007）在進行核事故應急決策系統研究時，用區間層次分析法建立了核事故應急決策方案優選模型，解決了核事故應急決策中專家經驗判斷的不確定性和模糊性問題。區間判斷矩陣在取用原始數據時充分體現決策者的偏好和經驗，從開始就體現管理決策者的意圖，而且計算結果是區間形式的權重矢量；在對方案進行排序時，仍需要決策者參與，根據實際問題的特點和決策者的偏好來進行。這樣，區間層次分析法貫穿於決策的全過程，成為整個決策的一部分。
4、改進模糊層次分析法
改進模糊層次分析法是指運用模糊一致性矩陣與其權重的關係構造評價模型，然後採用基於實數編碼的遺傳算法來求解該模型，得到評價指標的排序權重。這種改變提高了方案評價的解析度,增加了對方案優選結果的可信程度。
5、灰色層次分析法
灰色層次分析法是將傳統層次分析法和灰色系統理論相結合的一種綜合分析方法。任何一個不確定型決策問題都處於一定的社會、經濟系統之中，包含了大量相互關聯且又相互制約的複雜因素。由於社會經濟系統提供信息的不完全性，從而決定了這類決策問題是部分信息已知，而部分信息未知的灰色問題。同時人的認知具有不確定性，往往不能完全確定事物所處的狀態，個人無法完全接受社會經濟系統所提供的決策信息。考慮到人對信息認知的這種灰色性，因而在構造判斷矩陣時，不能確定地認為一個元素完全屬於某個標度，而不屬於其他標度。但由於個人對於決策信息已有一定的認識，因而可以指定一個大概範圍，即給定一個標度的區間，也就是區間灰數，然後在這些區間灰數的基礎上，對該決策進行再認識，從而進行白化處理，使其更加符合人的認知規律，也更加符合客觀實際。黃俊等（2007）應用層次分析法的基本決策理論，建立了城市防洪工程方案選擇的層次分析模型，應用層次分析法原理和灰色關聯分析的方法對城市防洪工程方案進行了綜合評價。
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