家長是孩子最好的老師，
這是奧數君第918天給出奧數題講解。
今天的題目是組合問題，
解題所用知識不超過小學4年級。
題目（5星難度）：
小明參加了奧數難題暑期集訓，集訓持續時間為5個星期，期間每天至少練習一道難題，但連續5天最多練習8道難題。小紅說：中間一定有連續若干天，共練習了13道難題。請問小紅說的正確嗎？
輔導方法：
將題目寫給小朋友，
讓他自行思考解答，
若20分鐘仍然沒有思路，
再由家長進行提示性講解。
講解思路：
這道題是屬於組合問題，
要說明小紅的話錯誤，
只需要構造出一個反例；
要說明小紅的話正確，
需要給出嚴格的證明。
由於5個星期35天太長，
構造反例比較困難，
故初步嘗試選擇嚴格證明的方法，
證明過程需要用到鴿籠原理，
即3隻鴿子放進2個籠子，
定有一個籠子中至少有2隻鴿子。
鴿籠原理是一個簡單但很有用的方法，
著名的費馬小定理就可用該原理證明。
應用該原理關鍵是構造鴿籠和鴿子，
而構造的過程往往需要靈機一動，
有時甚至沒有太多的道理可講，
因此構造法是數學中最難的部分之一。
本題總的解題思路是：
用a(n)表示前n天練習的難題總數，
先考慮a(1),a(2),…,a(35)的範圍，
再想辦法應用鴿籠原理。
步驟1：
先思考第一個問題，
考慮a(1),a(2),…,a(35)的範圍。
這個問題比較簡單，
由於每天至少練習一道難題，
故a(1) >= 1,
且這個數列每一項都是遞增的。
又因為任意5天最多練習8道難題，
故35天最多練習7*8=56道難題，
即a(35) <= 56。
因此可以得到如下關係式：
1 <= a(1) < a(2)…< a(35) <=56。
步驟2：
再思考第二個問題，
考慮原題目的答案。
注意到35*2=70，
而56+13=69=70-1，
這恰好是鴿籠原理的條件。
故考慮以下70個自然數：
a(1),a(2),…,a(35)和
a(1)+13,a(2)+13,…,a(35)+13,
把這70個數看作鴿子；
根據步驟1的結論可得，
上述70個自然數最小是1，
最大不超過56+13=69，
也就是說可選範圍只有69個，
把這69個可選範圍看作鴿籠。
應用鴿籠原理可得，
其中一定存在2個數相等。
而根據步驟1的大小關係，
a(1),a(2),…,a(35)互不相等，
a(1)+13,a(2)+13,…,a(35)+13也互不相等。
因此一定存在兩個自然數m和n，
使a(m)+13=a(n),
這說明第m+1天到第n天的時間內，
共練習了13道難題。
所以小紅的話是正確的。
思考題（3星難度）：
原題目改個數字。
小明參加了奧數難題暑期集訓，集訓持續時間為5個星期，期間每天至少練習一道難題，但任意5天最多練習8道難題。小紅說：中間一定有連續若干天，共練習了12道難題。請問小紅說的正確嗎？
微信回復「20190723」可獲得思考題答案。
註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。
同類題目連結：
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