自控中的轉換頻率、截止頻率、極點和零點

前幾天看到有些自媒體公眾號轉了些高性能模擬基礎知識科普, 我們不妨將自控專業的基礎科普更加豐富一些。

教科書貌似對這方面的定義理解起來很不理想，至少我學自控原理的時候是這樣，在此做了總結，方面後人。

截止頻率與截止電壓的關係_截止頻率與遏止電壓的關係

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轉折頻率：即AF對數坐標軸的轉折線，高頻部分的漸近線是一條斜率為－20dB/dec的直線，當輸入信號的頻率每增加十倍頻程時，對應輸出信號的幅值便下降20dB。 

截止頻率：用來說明電路頻率特性指標的特殊頻率。當保持電路輸入信號的幅度不變，改變頻率使輸出信號降至最大值的0.707倍，用頻響特性來表述即為-3dB點處即為截止頻率。
或某一特殊額定值時該頻率稱為截止頻率。其實就是轉折頻率。轉折頻率=截止頻率

簡單的講,帶寬就是上截止頻率和下截止頻率的差值, BW=f2-f1

剪切頻率：在開環對數頻率特性上對應於幅值A（w）=1(即20lg|A(w)|=0）的角頻率稱為剪切頻率，通常以Wc表示。

穿越頻率：用來描述系統頻率特性的一個指標，也稱剪切頻率。其定義為幅頻穿越0dB處的頻率，穿越頻率對應的相頻曲線上的相位反映了系統的相對穩定性。相位裕度定義為穿越頻率對應的相位+180°，相位裕度大於0表示系統穩定，小於0系統不穩定（如下圖「角頻率Wc」處）。
穿越頻率 == 剪切頻率=fc表示 ；f0表示起始 反饋振蕩頻率。
f<sub style="word-wrap:break-word;word-break:break-all;">0[/sub],=為相頻穿越-180°時的頻率,即產生自激正當的頻率。

極點：轉折頻率所在X軸坐標對應每一次-3db下降的點；極點之後每十倍頻，增益下降20db。零點與極點相反。

零點：就是使傳遞函數分子為零的點 或者說 每一段轉折線的起始點。在零點之處，增益增加3db,並移相45度。零點之後，每十倍頻，增益增加20db.

常見的用於差分雙絞線視頻傳輸多極點補償的Equalizer/Receiver

零狀態響應：是指初始狀態為零，對輸入所產生的響應，類似恆壓源給電容充電。

穩定裕量：是判斷穩定性時，由波特圖看出來的，有兩種表示形式，相位裕量和幅值裕量。當相位角為180度時，所對應的響應與截至頻率所對應實際響應的差值。

常見的電流反饋放大器 微分相位增益和DP/DG和Overshoot指標

不同電壓和增益下-3dB帶寬和自激曲線

一、傳遞函數中的零點和極點的物理意義： 

零點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為零時，此輸入頻率值即為零點。 

極點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為無窮大（系統穩定破壞，發生振蕩）時，此頻率值即為極點。

舉例：有時你家音響或電視機殼發出一陣陣尖厲嘶嘶聲，此時聰明的你定會知道機殼螺絲鬆了，擰緊螺絲噪聲問題就解決了。其實，你所做的就是極點補償，擰緊螺絲——你大大降低了系統極點頻率。當然此處系統是指機械振動系統不是電路系統，但系統原理一樣。拋磚引玉爾。希望更多答案。（這一段有待討論）

二、每一個極點之處，增益衰減-3db, 並移相-45度（可以理解成每一個轉折點）。極點之後每十倍頻，增益下降20db。零點與極點相反，在零點之處，增益增加3db,並移相45度。零點之後，每十倍頻，增益增加20db.波德圖如下：

零點圖找不到合適的，不過是與極點圖相反的。以下是極點圖。極點零點一般用於環路的穩定性分析。

 

*** 以下內容摘博客，提取扼要，增加了若干注釋。

CMOS裡面一般柵端到地的電容Cgs較大，所以一般人們就去取這個極點，
輸入信號頻率使得節點到地的阻抗無窮大（也就是所謂的1/RC）R為到的電阻，C為到地的電容（並聯產生極點） 

零點在CMOS中往往是由於信號通路上的電容產生的，使的信號到地的阻抗為0；

在密勒補償中，不只是將主極點向裡推，將次極點向外推（增大了電容），同時還產生了一個零點（與第三極點頻率接近）， 只不過人們一般只關心前者。 

經驗上來講，放大器電路中高阻抗的節點都要注意，即使這點上電容很小，都會產生一個很大的極點。零點一般就不那麼直觀了，通常如果兩路out of phase的信號相交就會產生零點，但這不能解釋所有的零點。

個人覺得零點、極點只是電路分析中抽象出來的輔助方法，可以通過零極點分析電路動作特徵，然而既然有抽象肯定有它的物理表現，極點從波特圖上看兩個作用：延時（頻率增加但我增益等會減少）和降低增益，在反饋系統中作用就是降低反饋信號幅度以及拖延反饋信號回到輸入點的時間。所以如果某個節點存在對地電容，必然會對電容充電，同時電容和前級輸出 電阻還存在分壓，所以這個電容會產生極點（想想採樣分壓電阻過來的信號，增加了一個電容濾波）。

零點可以增加增益，極點減少增益，而我們在反饋的時候，是希望在相位下降到180度之前，增益就已經降低到一，所以我們需要消除一個零點，以免發生震蕩。

實際上，我們在視頻傳輸應用上會常常遇到極點衰減，零點補償的案子，用於補償因傳輸電纜過長導致等效容感性參數過大衰減，從而在接收端得以還原視頻信號起初的平坦幅頻特性。

控制系統中的零極點有什麼物理意義麼？

有物理意義呀。當然有了。

想像一下，你從早到晚坐在自習室研究零點和極點，注意力高度集中徜徉在知識的海洋裡，十點半保安大哥來關燈關門的時候，你面帶微笑，合上書本，心滿意足地問自己：

我都學了些什麼鬼？！

呃，是。脫離了物理意義去想這些零點和極點，總是感覺有點兒縹渺。搞不清自己學的到底是無臉鬼，無頭鬼還是送紙鬼(啊，多年以後我都不敢在上廁所的時候回憶這個鬼故事)。

所以，讓我們腳踏實地，聯繫一點兒實際的東西來說一說零點和極點。因為我是做電路的，所以讓我們從電路開始，然後推而廣之。

一如既往地，儘量不寫公式。上公式就跟上刑具差不多。諸位沒有參加過革命，一看見那些公式，保準不會繼續朝下看啦。

開始吧。

首先，零點和極點這些概念出現在系統中。

什麼是系統呢？

一個系統以一定的規則來對輸入信息做出反應。

如果這個規則是固定不變的，那麼只要我們能清楚這些規則，那麼我們就能預測一個系統對輸入信號會作出什麼樣的反應，輸出什麼樣的信號。（相比之下，女朋友就是一個不可預測的系統）

很幸運，在這個世界上有很多系統滿足下列兩個特性：

1。對一個確定的輸入正弦信號，只輸出一個同頻率的輸出信號

2。如果輸入的信號可以分解成有限/無限個正弦信號的和，那麼輸出信號就會等於這些輸入信號獨立輸入時得到的輸出之和。（若稍有拗口，請再讀一遍）

我們稱這種系統為線性時不變系統。

接下來，如果我們知道一個這樣的系統，對每種頻率的輸入信號會有什麼樣的響應。（這個響應包括兩部分，一是經過系統以後，這個信號幅度會變大還是變小。二是經過這個系統後，這個信號會不會有相移，有多少相移。）

那麼我們就能推測出對任意的輸入信號，系統會給出一個什麼樣的輸出。

好了，只要能理解上面這些簡單的概念，就能理解極點是怎麼來的。或者說，為什麼一個電阻加電容構成的低通濾波器，他的系統傳輸函數裡面有一個極點。

下面解釋這一點：

我們知道，經過一個電阻去對一個電容充電，總是有延時的。在輸入信號改變的時候（想像輸入電壓瞬間從0變到1V），輸出並不會立刻改變。它改變的速度是跟電阻和電容的大小相關的。越大的電阻，越大的電容，就會有越大的延時，這個延時正比於R*C （很有趣的是，如果分析一下R*C的單位，就會發現它的單位是秒，所以我們稱它為時常數，另一個有趣的事情是，在這個系統上施加完這個1V信號以後，如果你等3倍時常數以上的時間，輸出的值就已經非常接近輸入了）。

也就是說，當你輸入了一個很慢的信號的時候，（想像一個非常慢的正弦信號），電容上的電壓幅度會和輸入幾乎沒有區別。因為它總能跟上輸入的變化。

所以對於比較低的頻率來說，輸出信號的幅度保持不變，在波特圖上表示出來是一根橫線。

而當你輸入了一個更快的信號，它在一個R*C時常數時間內就會變化一個周期甚至幾個周期的信號的時候，想像會發生什麼：

輸入變得很高，但是輸出還來不及跟上呢，輸入就又變低了。

所以輸出信號的幅度無法達到輸入的幅度。

輸出信號的幅度大概由什麼來決定呢？

由每一次輸入信號變高的時長來決定。換句話說，由周期決定。周期越短，輸出能夠得到的充電時間就越短，輸出信號的幅度就會越小。

這就是我們看到的，在波特圖上，在比極點更高的頻率上，信號幅度開始以-20dB/10倍頻率（其實就是頻率每變高十倍幅度就會變低十倍）的趨勢降低。

所以一言以蔽之，極點的物理意義大約就是延時相關的。

因為有延時，所以比延時更慢的信號，能夠幾乎不衰減地通過系統，而比延時更快的信號呢？不好意思，你要是變得越快，通過我以後你就變得越小。

懂得了這個道理，當你看到在傳輸函數中有一個極點的時候，大概就知道，這個極點可能是跟電路當中某一級的延時相關的。

懂得了這個道理，也就可以想像出，溫度在固體物體當中的傳輸應該也有極點。並且熱容可以等效成上面的電容，熱阻剛好也可以建模成上邊的電阻。

上面說完了極點。那零點又是怎麼回事呢？

零點往往暗示在系統當中  ，有不止一條信號傳輸的線路。

想像一下，如果我們在上面的低通濾波器中，給電阻並聯一個小小的電容（小於十倍輸出電容比較好），我們就能得到另一條信號的通路。

如上文所述，當頻率比較高的時候，在一個信號周期內，由電阻傳過來的信號會隨著周期的變短而越來越小。大約會正比於T/R （T是）

可是從並聯電容過來的信號呢?它可不會變。

所以在比較高的頻域內， 輸出信號的幅度就不再下降了，會變成兩個 電容的分壓比。

在波特圖上看到零點的樣子，就剛好跟極點相反，由-20dB/10倍頻率變成一條橫線。

寫在前面的話：寫這篇文章的時候是為了給那些學過信號與系統的同學們更深入的理解，所以默認像頻率響應、拉普拉斯變換、系統傳遞函數、零點和極點讀者都是已知的。

信號與系統中最關鍵的莫過於拉普拉斯變換以及由拉普拉斯變換引出的系統零點極點的分析。學過信號與系統的同學們對零點極點最深的影響恐怕就是通過極點位置來判斷系統的穩定性。此外，對於基於常係數線性微分方程的系統，通過拉普拉斯變換可以輕鬆地獲得系統的傳遞函數。基於系統的傳遞函數，我們可以進一步計算出系統的頻率響應。

對於一個系統的傳遞函數  ,我們總能將其寫成兩個多項式之商的形式：

 (1)

為了計算極點和零點，通常會將其寫作如下的形式：

 (2)

令  就可以解得系統的零點和極點。

在獲得系統的傳遞函數後，我們只需令  就可以獲得系統的頻率響應，將(2)式中的s進行替換可得：

進一步地，我們可以獲得系統的幅度頻率響應和相位頻率響應：

但是這個計算過程還是略顯複雜。我們知道基於系統的傳遞函數可以很輕易地計算出系統的零點和極點，而進一步根據零極點對頻響特性的影響，可以通過零極點來得到系統的頻率響應。課本上給出了詳盡的推導和計算過程，這裡我們介紹一種更簡潔的方法來基於零極點得到系統頻率響應的大致曲線。

在數位訊號處理中我們學到過極點主要影響頻率響應的峰值，極點愈靠近單位圓，峰值愈尖銳，零點主要影響頻率特性的谷值，零點愈靠近單位圓，谷值愈深，但是僅憑這樣一種定性的描述還不足讓我們通過零點極點來獲得系統的頻率響應曲線。接下來我來介紹一種由MIT教授提出的基於拐點頻率的方法。

所謂拐點頻率，即在系統的幅度頻率相應中，頻響曲線並不是單調變化的，而是會有遞增到遞減的變化，從遞增到遞減變化的點就稱為是拐點頻率。如果我們能夠通過零點和極點確定系統的拐點頻率以及拐點頻率前後頻率的變化趨勢，就可以獲得幅度頻率響應的大致曲線。以圖1中的零極點圖為例進行分析，拐點頻率即為虛軸（  ）上到原點距離等於零點、極點到遠點的距離的點對應的頻率值，圖中三個極點和兩個零點一共對應四個拐點頻率，分別是0rad/s，0.1rad/s，1.414rad/s和5rad/s。每一個零極點在幅度頻率響應上對應  的變化，因此對於一對共軛的零極點，會在幅度頻率相應上對應  的變化，在前面提到過，極點主要影響頻率響應的峰值，零點主要影響頻率特性的谷值，因此零點往後應該是遞增的變化，即  變化，而極點往後應該是遞減的變化，即  的變化，對於Z個零點和P個極點，其變化為  。

圖1 通過零極點位置計算拐點頻率示意圖（來自MIT教學課件）

因此，對於圖一中的信號，系統的幅度頻率響應從零開始以 的速度遞增直到0.1rad/s，此時出現了一個極點，極點與零點相互作用抵消，系統的幅度頻率響應維持不變直到1rad/s，之後三個極點與一個零點抵消，表現為兩個極點，因此系統的幅度頻率響應以 的速度遞減直到5rad/s，在這之後三個極點與兩個零點抵消，表現為一個極點，因此系統的幅度頻率響應以 的速度遞減。

圖2 圖1對應系統的幅度頻響變化曲線，實線為計算得到的變化曲線，虛線為實際變化曲線

由圖2可以看出，我們通過這一方法繪製出的幅度頻響變化曲線與實際變化曲線基本一致。通過這一方法，在得到系統的零極點圖後，就可以直接畫出系統的幅度頻響曲線草圖用於定性分析而不必通過複雜計算來得到。