曉星說數學：邏輯的力量

我們經常需要為了某種目的說服他人，說服的方法有很多種：

引用權威的話。例如：聖經上說上帝創造了世界，所以世界就是上帝創造的。

從眾（相信大多數）。例如：那麼多人都說&34;，肯定不會錯。

實驗證實。例如：鋼珠比羽毛下落快得多，所以物體越重下落越快。

舉例說明。歷史上農民起義都是失敗的，比如大平天國。

舉不出反例。大清王朝是不會亡的，你看哪個敢造反的最後不被殺頭?

以上的&34;，都是人們日常所用，也都有一定的價值；但遺憾的是又都可能出錯(大家不妨仔細思考一下以上所舉各例)。惟獨邏輯推理的結論，才千真萬確，不可動搖。數學的邏輯推理，其價值也正在這裡。

讓我們先來看看東西方不同的推理方式：

顯然，中國傳統的推理方式以形象、直觀為主要特徵；而西方傳統的推理方式則以抽象、邏輯為主要特徵。

由形象、直觀所得的知識並不一定可靠，尤其是數學領域更是如此。

例如，從直觀上看，平面上任何一條封閉曲線所圍成的幾何圖形，如果其面積是有限的，那麼其周長也就是有限的，千百年來人們一直對此深信不疑。可是，上世紀初卻有一位數學家發現：存在一種封閉曲線，它所圍成的幾何圖形的面積是有限的，其周長卻是無限的。整個數學界都為之大吃一驚。

又如，整數點在數軸上的分布是離散的，任何相鄰的兩個整數之間都不再具有其它整數；而有理點的分布卻是稠密的(圖2)，任何兩個有理數之間都還存在無窮多個有理數，因而任何相鄰的兩個整數之間也都具有無窮多個有理數。如此看來，似乎有理點要比整數點多得多。然而事實上，全體有理數卻可以按一定順序用自然數編號，這說明有理點的&34;其實是與自然數&34;的；整數點的&34;也與自然數&34;，有理點與整數點當然也就&34;了。

很多數學問題只靠形象、直觀也是無法解決的。

例如，三角形的內角和是180°嗎？用直觀回答不了。如果用量角器去測量，由於繪圖和測量的誤差，通常只能得到一些十分接近而又彼此不完全相同的結果；即使假定每次都可以非常精確地測量，由於我們只能測量有限個三角形而無法測量一切三角形，也不能保證所有的三角形的內角和都是180°。

又如，根號2是有理數還是無理數呢？三元齊次不定方程是否存在非零整數解呢？處處連續的曲線是否處處都有切線呢？等等，這些問題也都是只憑形象、直觀（或經驗和直覺）無法解決的。

因此，用邏輯演繹推理來檢驗數學命題的真偽就顯得十分必要了。

簡單邏輯演繹推理的基本模式是三段論：

這一推理表明，&34;不過是&34;的特殊情況。如果我們承認&34;為真，那麼就要承認&34;也真。這樣，我們就為&34;這一命題找到了邏輯根據。用更複雜一點的邏輯演繹推理，我們還可以為&34;找到邏輯根據。

類似地，我們可以為數學上絕大多數命題找到邏輯根據，並把它們按邏輯關係的順序排列起來。

例如，以下幾個命題

(1) 直線外一點可以引並且只可以引一條直線與原直線平行。

(2)兩直線平行，同位角相等，內錯角相等。

(3)三角形的外角等於其不相鄰兩內角的和。

(4)三角形的內角和等於180°。

(5)直角三角形兩個銳角的和等於90°。

其邏輯關係就是

　　(1)→(2)→(3)→(4)→(5)。

而剩下的幾個極少數的數學命題，如&34;等，就成了數學需要其作為基本出發點的思想規定，也就是公理。

正是依靠邏輯演繹推理，數學知識再也不是雜亂無章的經驗堆砌，而成了具有堅實基礎的博大精深的理論體系。這就是邏輯思維在《幾何原本》中所立下的偉大歷史功勳。

邏輯思維對科學的發展有著十分巨大的推動與深刻影響，主要表現在如下幾個方面：

一、幫助人們肯定經驗或直覺的成果，修正錯誤

古希臘畢達哥拉斯學派曾長期認為：現實世界中的一切數量都可以用整數或整數之比(即分數)表示。後來，其本學派的一個門徒發現：單位正方形的對角線長(即根號2)如果用整數或整數之比表示則將導致邏輯矛盾。換句話說，根號2不能表示成整數或整數之比。這一發現突破了畢達哥拉斯學派局限性很大的有理數觀點，使得人們大大開闊了眼界，開始認識到了無理數的存在，並最終建立起了完整的實數理論。

17世紀法國數學家費馬閱讀古希臘數學家丟番圖的《算術》一書時，曾在頁眉上寫道：&34;雖然費馬聲稱他給出了證明，但人們始終未曾找到，只能稱其為&34;。經過三個半世紀的努力，這個世界性難題才由英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1994年成功證明。證明利用了很多新的數學知識，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式、以及伽羅華理論等等，對費馬猜想的研究極大促進了數學的發展。

二、幫助人們把科學知識理論化、系統化

《幾何原本》就用邏輯演繹的辦法把人們長期積累的、零散雜亂的、缺乏內在聯繫的幾何知識整理成了一個具有嚴格邏輯順序的、公理化的理論體系。通過這一理論體系，我們可以清楚地了解每一命題的來龍去脈，它的依據，它與其它命題之間的相互聯繫；一旦我們需要用到某個命題，我們也可以很方便地在該理論體系適當的位置找到它。

《幾何原本》邏輯演繹的公理化體系，成為了後來建立科學理論的典範，不要說現代數學的所有分支，就連笛卡爾的《方法論》、馬爾薩斯的《人口論》、牛頓的《自然哲學的數學原理》、愛因斯坦的《相對論》、德布魯的《價值理論：經濟均衡的一種公理化分析》、……等等，也都是按照邏輯演繹的公理化方法建立起來的。

三、幫助人們在已有理論體系中推出新的知識

牛頓的&34;，愛因斯坦的&34;、&34;、&34;和&34;就是在他們各自的理論體系中用邏輯演繹方法推出的具有劃時代意義的新知識。

有個很有意思的事例：美國數學家、經濟學家阿羅曾採用公理化方法，對所謂的民主投票——&34;進行了研究，得出了一個與普通常識相悖的驚人結論：絕大多數情況下不可能產生出合乎大多數人意願的決策！這就是著名的阿羅不可能定理。

我們知道，投票選舉必須公平公正，阿羅為此設計了4條公理：

公理1每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇；

公理2不相干的選擇是互相獨立的；

公理3少數服從多數；

公理4沒有獨裁者。

阿羅用邏輯推理證明了：當至少有三名候選人和兩位選民時，滿足上述4條公理要求的民主決策是不存在的。這是一個相當深刻的結論，它表明事實上並沒有政治家所標榜的&34;。

邏輯思維規律是正確地認識現實世界和表達人們思想的最基本的思維規律。邏輯思維不僅僅在數學中有用，在其它學科中，在人們的生活和工作的每一活動中都有用。數學雖然並不完全就是邏輯，但是數學卻與邏輯結合得如此緊密，簡直無法把它們截然分開。學習數學也就成了訓練邏輯思維的最好途徑。特別是在中小學，由於一般沒有專門的邏輯課程，而除數學以外的其它課程與邏輯之間的聯繫又不如數學那麼密切，就更是如此了。

值得注意的是，中國傳統文化中理性的、嚴密的邏輯思維，吸收古希臘數學的科學遺產，把西方文明的精華融入中華文化，是中國數學教育的重任。