中華人民共和國教育部制定的《義務教育數學課程標準》
（2011年版）就《圓》的知識要求：
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索並了解點與圓的位置關係。（2）*探索並證明垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。（3）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關係，了解並證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補。（4）知道三角形的內心和外心。（5）了解直線和圓的位置關係，掌握切線的概念，探索切線與過切點的半徑的關係，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線。（6）*探索並證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。（7）會計算圓的弧長、扇形的面積。（8）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關係。
近幾年襄陽中考題第22題考查圓的綜合性質，包括切線的性質與判定，圓周角定理及其推論，求陰影部分面積及弧長等，對於學生綜合能力，有一定要求，構造輔助線的方法比較常規，屬於中檔題；此題目一般考查五大定理的簡單應用：垂徑定理、三量定理、圓周角定理、切線的性質與判定定理和勾股定理。下面以近幾年襄陽中考題為例加以解讀與說明。
例題1、（2016•襄陽）22．（8分）如圖，直線AB經過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交於點E和點D，OB與⊙O交於點F，連接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．
（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC＝∠EDC；
（2）求CD的長．
【試題分析】（1）①欲證明直線AB是⊙O的切線，只要證明OC⊥AB即可．
②首先證明OC∥DF，再證明∠FDC＝∠OCD，∠EDC＝∠OCD即可．
（2）作ON⊥DF於N，延長DF交AB於M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．
【解答】（1）①證明：連接OC．
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴OC⊥AB，
∵點C在⊙O上，
∴AB是⊙O切線．
②證明：∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADC＝∠CDF．
（2）作ON⊥DF於N，延長DF交AB於M．
∵ON⊥DF，
∴DN＝NF＝3，
在RT△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，
【試題感悟】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質、垂徑定理、平行線的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造輔助線的方法比較常規，構造直角三角形解決問題，屬於中考常考題型。
例題2、（2017•襄陽）22．（8分）（2017•襄陽）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩點，∠BAC＝∠DAC，過點C作直線EF⊥AD，交AD的延長線於點E，連接BC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若DE＝1，BC＝2，求劣弧BC的長l．
【試題分析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠OAC＝∠DAC，求得∠DAC＝∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF＝∠AEC＝90°，於是得到結論；
（2）連接OD，DC，根據角平分線的定義得到∠DAC＝∠OAC，根據三角函數的定義得到∠ECD＝30°，得到∠OCD＝60°，得到∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，於是得到結論．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切線；
【試題感悟】本題考查了切線的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵。
例題3、（2018•襄陽）22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，E為⊙O上一點，過點E作直線DC分別交AM，BN於點D，C，且CB＝CE．
（1）求證：DA＝DE；
（2）若AB＝6，CD＝4，求圖中陰影部分的面積．
【試題分析】（1）連接OE．推知CD為⊙O的切線，即可證明DA＝DE；
（2）利用分割法求得陰影部分的面積．
【解答】解：（1）證明：連接OE．
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC為⊙O的切線，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°；
∵OE為半徑，
∴CD為⊙O的切線，
∵AD切⊙O於點A，
∴DA＝DE；
【試題感悟】本題考查了切線的判定與性質：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，運用全等三角形的判定與性質進行計算。
例題4、（2019•襄陽）22．（8分）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交於點D，過D作直線DG∥BC．
（1）求證：DG是⊙O的切線；
（2）連接BD、OB，如圖，先證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE＝6，再利用正弦定義求出∠BDH＝60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，則∠BOC＝120°，然後根據弧長公式計算優弧的長．
【解答】（1）證明：連接OD交BC於H，如圖，
∵點E是△ABC的內心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切線；
（2）解：連接BD、OB，如圖，
∵點E是△ABC的內心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
【試題感悟】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了切線的判定和弧長公式。
【試題點評】本題考查了直線與圓的位置關係，勾股定理，垂徑定理，扇形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．當然考生在解答過程中出現了以下情況：推理不清晰。此題的答案中出現下列推理性錯誤： ①由弧EC=弧BC直接得出∠DAO=∠COB.②由弧EC=弧BC臆測得出弧AE=弧EC=弧BC，進而得出∠AOE=∠COE=∠COB＝60°.③連接OC，BE，由弧EC=弧BC推出OC垂直平分BE.④在Rt△ABE中，由OA=OB=OE就得出∠EAB＝30°.⑤由AE∥CO和 AO=CO得出四邊形AOCE是菱形。答題不規範；此題第（1）小題得出AD∥OC後直接寫出∠DCO=∠ADC＝90°。
例題6、（2020•襄陽期末）22.如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線於點A，連接BC，∠B＝∠A＝30°，BD＝2．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）
【試題分析】（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案。
【解答】（1）證明：連接OC，交BD於E，
∵∠B＝30°，∠B＝0.5∠COD，
∴∠COD＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠OCA＝90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
【試題感悟】本題考查了平行線的性質，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中。
例題7、（2020•襄陽期末）22.如圖，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE於點B，AC邊上一點O，⊙O經過點B、C，與AC交於點D，與CE交於點F，連結BF．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若cos∠CBF＝0.8，AE＝8，求⊙O的半徑；
【試題分析】（1）連接OB，根據等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠OBC，根據角平分線的定義得到∠OCB＝∠BCF，得到∠OBC＝∠BCF，求得∠ABO＝∠AEC＝90°，於是得到結論；
（2）連接DF交OB於G，根據圓周角定理得到∠CFD＝90°，得到∠CFD＝∠CEA，推出cos∠CBF＝cos∠CEF＝0.8，設BE＝2x，則DF＝4x，CD＝5x，得到OC＝OB＝2.5x，根據勾股定理得到x＝1.5（負值捨去），於是得到⊙O的半徑＝3.75；
【解答】（1）證明：連接OB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB平分∠ACE，
∴∠OCB＝∠BCF，
∴∠OBC＝∠BCF，
∴∠ABO＝∠AEC＝90°，
∴OB⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（2）解：連接DF交OB於G，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CEA，
∴DF∥AE，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵∠CDF＝∠CBF，
∴∠A＝∠CBF，
∴cos∠CBF＝cos∠CEF＝0.8，
∵AE＝8，
∴AC＝10，
∴CE＝6，
∵DF∥AE，
∴DF⊥OB，
∴DG＝GF＝BE，
設BE＝2x，則DF＝4x，CD＝5x，
∴OC＝OB＝2.5x，
∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，
∵AO2＝AB2+OB2，
∴（10﹣2.5x）2＝（8﹣2x）2+（2.5x）2，
解得：x＝1.5（負值捨去），
∴⊙O的半徑＝3.75；
【試題感悟】本題考查了切線的性質和判定，勾股定理，平行線的判定和性質，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵。
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