這個問題是義大利科學家伽利略在1630年提出的。
他認為，這段曲線是段圓弧。很快，他的觀點被否定了。
瑞士數學家約翰·伯努利在1696年6月在萊布尼茲的雜誌《教師學報》上再次提出這個最速降線的問題（problem of brachistochrone）。
他向全歐洲數學家徵求解答。人們當然會首先想到連接AB的直線。但伯努利對試圖採用這一過於簡單化的方法提出了警告：
「不要草率地做出判斷，雖然直線AB的確是連接A、B兩點的最短線路，但它卻不是所用時間最短的路線。而曲線AMB則是幾何學家所熟知的一條曲線。如果在年底之前（指1696年）還沒有其他人能夠發現這一曲線，我將公布這條曲線。」
約翰·伯努利原定於1697年1月1日公布答案。但是到最後期限時，只收到他的老師萊布尼茲寄來的一份答案。
萊布尼茨請求伯努利延長最後期限到復活節，以便讓歐洲科學家們有更多時間來充分解決此道難題。伯努利同意了他的請求，延長了期限。然後，為確保不會使人誤解這道難題，約翰又重複了一遍：
「在連接已知兩點的無限多的曲線中。選擇一條曲線，如果用一根細管或細槽代替這條曲線，把一個小球放入細管或細槽中，放手讓它滾動，那麼，小球將以最短的時間從一點滾向另一點。」
伯努利在「戰書」中還特別暗示了他的挑戰對象，他寫道：「……很少有人能解出我們的獨特的問題，即使那些自稱通過特殊方法……不僅深入探究了幾何學的秘密、而且還以一種非凡的方式拓展了幾何學領域的人，這些人自以為他們的偉大定理無人知曉，其實早已有人將它們發表過了」。這簡直就是赤裸裸的指向偉大的英國科學家伊薩克·牛頓了！伯努利提到的「定理」指的是流數術，而牛頓曾宣稱自己早在萊布尼茲1684年發表微積分論文前就已經發現了這一理論。萊布尼茲正是伯努利的老師，自己師父和牛頓爭奪微積分的發明權，弟子當仁不讓要維護師門尊嚴。約翰·伯努利親自把降速問題抄了一份，裝進信封寄往英國。
此時牛頓已不是當年的牛頓了，他自己也承認，他的頭腦已經不如二十年前那麼機敏了，而且還整天忙於造幣局的事務。關於此事我們可以看看牛頓的外甥女凱薩琳記述的內容：「1697年的一天，收到伯努利寄來的問題時，伊薩克牛頓爵士正在造幣局裡忙著改鑄新幣的工作，很晚才精疲力竭地回到家裡。但是，直到解出此道難題，他才上床休息，這時已經是凌晨4點鐘。」即使是在晚年，而且忙了一天的本職工作，牛頓還是用幾個小時就解決了許多歐洲數學家都無法解出的難題！這位偉大天才的功力可見一斑。牛頓感到了自己作為一代宗師的榮譽和名望都受到了挑戰，對手正等著看他笑話，因此牛頓當仁不讓，僅用幾個小時就解決了此題。牛頓被激怒了，據說他曾說過：「在數學問題上，我不喜歡被外國人戲弄」。
1697年復活節的截止期限，伯努利總共收到了5份答案，他自己的和其老師萊布尼茲的，第三份是他的哥哥雅可布·伯努利的。
這肯定使得約翰·伯努利很不爽，因為他們兄弟兩個從來都是誰也不服誰，互相較勁。洛畢達是第四個。
最後一份答案的信封上蓋有英國的郵戳，並且是匿名的，但答案完全正確！顯然這封信來自一位絕頂天才，非伊薩克·牛頓莫屬。據說，伯努利半是惱怒，半是敬畏地放下這封匿名答案，說到：「我從他的利爪認出了這頭獅子。」
除洛畢達的答案外，其他人的解答都在1697年5 月5月的《博學通報》公布。答案就是一段旋輪線也叫擺線。帕斯卡和惠更斯以前就研究過這一重要的曲線，可是他們誰也沒有想到這還是一條最速降線。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線又稱等時曲線。
數學歷史上的挑戰古已有之，但這一次最速降線的挑戰可謂數學史上最激動人心的一次挑戰。 參與討論的都是赫赫有名的大數學家。牛頓、萊布尼茲各自獨立創立了微積分；以伯努利兄弟為代表的伯努利家族是數學世家。羅畢達年輕時就顯露了數學天賦，十五歲就解出了帕斯卡的擺線難題。
這次挑戰各人的解法各有千秋，約翰伯努利的解法最漂亮，類比了費馬原理，將物理和幾何融合到一起，用光學的思想一下子就得出結論。雅各布·伯努利的方法最一般化，體現了變分思想。牛頓、萊布尼茲和羅畢達都是用微積分方法，但是步驟並不相同。
此問題直接導致了另一位曠世天才的登場，大數學家萊昂哈德·歐拉（約翰·伯努利的學生）也在1726年開始發表有關的論著，在1744年最先給了這類問題的普遍解法，並產生了變分法這一新的數學分支。
現在，讓我們一起來研究一下約翰伯努利的解法吧。
根據費馬原理：光在運動過程中的路徑總是取光程（或時間）為極值的路徑，這實際上是變分法的一種應用。
在折射問題中，光傳播的路徑滿足斯涅爾折射定律：如果光線在上半部速度v1，在下半部速度v2，從A1點到達A2點的光線總是走下列路徑。這個路徑同時也是光線的最短光程（時間）。
如圖建坐標系，物體在縱坐標為y處的速度
為了讓小球最快到達底部，可以設想有一條光線從A處出發到達B處， 並且在每一層介質中傳播速度都滿足上述表達式。
考慮在第k層與k+1層質點在曲線上的下滑，物體運動的角度必須滿足：
上面表達式對任意k都成立，因此
又因為曲線斜率
因而得到
令
那麼
又因為
從而
根據x和y的參數方程，可知這是一條擺線。同時有邊界條件：y(0)=0,y(c)=H即可求解。
大家如果有興趣，可以研究一下如何使用變分法解決本題。當然你首先得學會變分法。在馬桶課堂中回復「理論力學」，你可以找到一部分參考資料。
----
參考文獻：《「最速降線」問題》 數學通報 2006年第45卷