1.引子
2.最速曲線的故事
問題的提出
「一個質點在重力作用下，從一個給定點A到不在它垂直下方的另一點B，如果不計摩擦力，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短。」我們通常把這條曲線叫做最速降線或捷線。這個問題是義大利科學家伽利略在1630年提出的，並說這段曲線是段圓弧。
瑞士數學家約翰·伯努利在1696年6月在萊布尼茲的雜誌《教師學報》上再次提出這個最速降線的問題（problem of brachistochrone），向全歐洲數學家徵求解答。
他設想在地面上不同高度的兩個點A和B，並且，不要讓其中一個點直接位於另一點的上方。連接這兩個點，當然可以作出無限多的不同曲線，從直線、圓的弧線到無數種其他曲線和波浪線。現在設想有一個球沿著一條曲線從A點滾向較低的B點。當然，球滾完全程所需要的時間取決於曲線的形狀。伯努利向數學界提出的挑戰是，找出一條曲線AMB，使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短。伯努利將此問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brochistos）和「時間」（chronos）合成而來。
人們當然會首先想到連接AB的直線。但伯努利對試圖採用這一過於簡單化的方法提出了警告：
「……不要草率地做出判斷，雖然直線AB的確是連接A、B兩點的最短線路，但它卻不是所用時間最短的路線。而曲線AMB則是幾何學家所熟知的一條曲線。如果在年底之前（指1696年）還沒有其他人能夠發現這一曲線，我將公布這條曲線。」
直線有可能不是最短時間的路徑，因為小球從靜止開始滾下來，最初應該讓路徑陡一些，使小球獲得較大的加速度速度和速度。
問題的解決
約翰·伯努利原定於1697年1月1日公布答案。但是到最後期限時，只收到他的老師萊布尼茲寄來的一份答案，並且請求伯努利延長最後期限到復活節，以便讓歐洲科學家們有更多時間來充分解決此道難題。伯努利同意了他的請求，延長了期限。然後，為確保不會使人誤解這道難題，約翰又重複了一遍：
「在連接已知兩點的無限多的曲線中。選擇一條曲線，如果用一根細管或細槽代替這條曲線，把一個小球放入細管或細槽中，放手讓它滾動，那麼，小球將以最短的時間從一點滾向另一點。」
這個問題的難點在於，是求出一條曲線，實際就是求一個滿足給出條件的未知函數，這在以前是前所未有的，有可能開創一個新的學科領域。於是數學家們具有極大興趣，紛紛開展研究。
伯努利在「戰書」中還特別暗示了他的挑戰對象，他寫道：「……很少有人能解出我們的獨特的問題，即使那些自稱通過特殊方法……不僅深入探究了幾何學的秘密、而且還以一種非凡的方式拓展了幾何學領域的人，這些人自以為他們的偉大定理無人知曉，其實早已有人將它們發表過了」。這簡直就是赤裸裸的指向偉大的英國科學家伊薩克·牛頓了！伯努利提到的「定理」指的是流數術，而牛頓曾宣稱自己早在萊布尼茲1684年發表微積分論文前就已經發現了這一理論。萊布尼茲正是伯努利的老師，自己師父和牛頓爭奪微積分的發明權，弟子當仁不讓要維護師門尊嚴。約翰·伯努利親自把降速問題抄了一份，裝進信封寄往英國。
此時牛頓已不是當年的牛頓了，他自己也承認，他的頭腦已經不如二十年前那麼機敏了，而且還整天忙於造幣局的事務。關於此事我們可以看看牛頓的外甥女凱薩琳記述的內容：「1697年的一天，收到伯努利寄來的問題時，伊薩克牛頓爵士正在造幣局裡忙著改鑄新幣的工作，很晚才精疲力竭地回到家裡。但是，直到解出此道難題，他才上床休息，這時已經是凌晨4點鐘。」即使是在晚年，而且忙了一天的本職工作，牛頓還是用幾個小時就解決了許多歐洲數學家都無法解出的難題！這位偉大天才的功力可見一斑。牛頓感到了自己作為一代宗師的榮譽和名望都受到了挑戰，對手正等著看他笑話，因此牛頓當仁不讓，僅用幾個小時就解決了此題。牛頓被激怒了，據說他曾說過：「在數學問題上，我不喜歡被外國人戲弄」。
1697年復活節的截止期限，伯努利總共收到了5份答案，他自己的和其老師萊布尼茲的，第三份是他的哥哥雅可布·伯努利的，這肯定使得約翰·伯努利很不爽，因為他們兄弟兩個從來都是誰也不服誰，互相較勁。洛畢達是第四個。最後一份答案的信封上蓋有英國的郵戳，並且是匿名的，但答案完全正確！顯然這封信來自一位絕頂天才，非伊薩克·牛頓莫屬。據說，伯努利半是惱怒，半是敬畏地放下這封匿名答案，說到：「我從他的利爪認出了這頭獅子。」
除洛畢達的答案外，其他人的解答都在1697年5 月5月的《博學通報》公布。答案就是一段旋輪線也叫擺線。帕斯卡和惠更斯以前就研究過這一重要的曲線，可是他們誰也沒有想到這還是一條最速降線。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線又稱等時曲線。
解法一
解法二
3.挑戰的意義
數學歷史上的挑戰古已有之，但這一次最速降線的挑戰可謂數學史上最激動人心的一次挑戰，有幾個理由：
首先參與人數眾多。
其次，得出正確結果的都是赫赫有名的大數學家。牛頓、萊布尼茲各自獨立創立了微積分；以伯努利兄弟為代表的伯努利家族是數學世家。羅畢達年輕時就顯露了數學天賦，十五歲就解出了帕斯卡的擺線難題。
第三，這次挑戰各人的解法各有千秋，約翰伯努利的解法最漂亮，類比了費馬原理，將物理和幾何融合到一起，用光學的思想一下子就得出結論。雅各布·伯努利的方法最一般化，體現了變分思想。牛頓、萊布尼茲和羅畢達都是用微積分方法，但是步驟並不相同。
最後，此問題直接導致了另一位曠世天才的登場，大數學家萊昂哈德·歐拉（約翰·伯努利的學生）也在1726年開始發表有關的論著，在1744年最先給了這類問題的普遍解法，並產生了變分法這一新的數學分支。
當時的科學家對變分法非常樂觀，在1744年Eider曾這樣讚美道:「上帝創造的宇宙的結構是如此的盡善盡美，以至世界上沒有任何事物不顯示出極大或極小的性質。因此，毫無疑問，世界上的一切結果都可以用極大和極小方法從其終極原因及其有效原因中導出來。」這是對變分法最高讚賞，一大批科學家年輕學者的熱情也非常高漲，對變分原理及其實際應用的探索也在不斷進行之中。