最速降線

作者：aifreedom 
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最速降線問題

「想像一個小球，僅受重力，從點 A 出發沿著一條沒有摩擦的斜坡滾至點 B。怎樣設計這條斜坡，才能讓小球在最短的時間內到達點 B？」

這個在數學史上被稱為「最速降線」的知名問題，最早是由著名的義大利科學家伽利略（Galileo Galilei）於 1630 年提出來的。他在研究後認為最速降線應該是圓弧，但可惜的是這個答案並不是正確的。時間又過了 60 多年，1696 年 6 月，來自瑞士巴塞爾（Barsel，這座城市不僅是數學世家伯努利的故鄉，也是歐拉的故鄉，有一個由歐拉解決的著名數論問題就是以這座城市命名的）的約翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教師學報》（Acta Eruditorum）上又重新提出這個問題，並向全歐洲的數學家提出公開挑戰。這個別出心裁卻又十分容易理解的問題吸引了當時全歐洲的數學家，而最後給出了正確解答的人也都是數學史上赫赫有名的巨人。這也讓這次挑戰成為了數學史上最激動人心的一場公開挑戰。

數學家之間公開挑戰的傳統要追溯到 16 世紀在義大利的博洛尼亞（Bologna）。16 世紀初的博洛尼亞曾是歐洲數學思想的大熔爐，全歐洲的學生都會來到博洛尼亞大學。他們甚至還「發明」了一項新的觀賞運動——數學比賽。這聽起來有些匪夷所思，但在當時確實有大批的觀眾從各地湧來，圍觀數學家們互相之間用數學鬥法。其中最有名的一次，是在塔塔裡亞（Tartaglia）和費奧（Fior）間上演的，是一場關於求出一元三次方程通解的世紀智力大戰。

言歸正傳，在約翰・伯努利發出挑戰後的半年裡，他收到的唯一一份答案來自《教師學報》的主編，他的老師萊布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在萊布尼茨的要求下，他將接受答案的最後期限推遲到 1697 年的復活節，以便有更多的數學家能參與到這場挑戰中來。

我們都知道，過兩點的直線段是兩點間的最短路徑。但使質點的運動時間最短的運動軌跡，卻不是那麼的顯而易見。這個問題和以往人們見過的那些求極值的問題是有本質區別的。藉助微積分，人們可以求出一個函數的極值；但最速降線問題要求的並不是某個傳統函數的極值點，而是要在一簇曲線（過 A、B 兩點的所有曲線）中，求出能讓質點運動時間最短的那條。這是一個以函數（小球的運動軌跡）為自變量，以實數（小球運動的時間）為函數值的函數，也就是所謂的泛函。我們要求的就是這樣一個泛函的極值。正如後文將要介紹的那樣，這類問題形成了一個全新的數學分支——變分學。

1697 年的復活節很快就到了，約翰・伯努利一共收到了五份正確答案。這五份答案分別來自他自己，他的老師萊布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的學生洛必達（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），還有一位來自英國的匿名數學家。最後這份答案雖然沒有署名，但顯然出自赫赫有名的牛頓（Issac Newton）之手。雖然五人的解法各不相同，但他們的答案全都一樣——最速降線就是擺線。

同一個答案

所謂擺線（cycloid），就是當圓沿一條直線運動時，圓周上一定點所形成的軌跡。其實當時的數學家對這種曲線並不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究過這一重要的曲線。但大部分人都沒有想到，這條線同時也是人們苦苦追尋的最速降線。

而我們大家對擺線也不陌生。還記得小時候玩過的那種能夠畫出各種漂亮曲線的玩具嗎？一塊塑料板上開著幾個圓形的大洞，還有幾塊較小的圓形塑料片，不同半徑處留有一些孔。把這些看似普通的小圓片放進大圓孔中，再將原子筆插在小孔裡並帶動小圓片沿著大圓的圓周運動，就能在紙上留下各種美麗的曲線。這些曲線也都是擺線，只不過是另一種被稱為「內擺線」（hypocycloid）的擺線。它們是由給定圓在另一個圓內運動時，圓周上一定點形成的軌跡。

不同的解法

讓我們回到眾人給出的最速降線的解法上。萊布尼茨、牛頓、洛比達都是用他們擅長的微積分來解決這個問題的。伯努利兄弟的解法就值得特別地說一說了。

約翰的解法應該是最漂亮的解法了。他利用了費馬原理（Fermat's principle），將小球的運動類比成光線的運動。費馬原理又叫做「最短光時」原理，說的是光線在傳播時總會選擇光程極短的那條路徑。那麼，「最速降線」就是在光速隨高度下降而增加（加速度恆為重力加速度 g）的介質裡光線傳播的路徑。用這樣的類比思想，約翰成功地算出了這條曲線就是前面提到的擺線。

這種解法出人意料地用到了費馬原理，實在是太巧妙了！在物理學中，費馬原理被認為是「最小作用量原理」（principle of least action）在幾何光學中的特例。 而最小作用量原理則是物理學定律普遍遵循的規律，甚至被稱為「物理定律的定律」。

不知你想過沒有，當我們將一個小球拋出後，它為什麼會沿著所謂的拋物線運動？你可能會說，因為小球只受重力作用，根據牛頓第一定律，它在水平方向上速度恆定不變；而根據牛頓第二定律，它在豎直方向上做勻變速運動。這兩個運動合起來就使得小球的運動軌跡成了一條拋物線。

這確實不錯，但現在讓我們換一個角度來考慮這個問題。從整體的角度考慮，小球在被拋出後，為什麼不沿著其他的路徑運動，卻總是沿著拋物線運動呢？同樣，我們在考察了連接小球起點和終點的所有曲線後，會發現只有在沿著拋物線運動時，小球的動能和勢能的差在運動過程中對時間的積分（這就是所謂的「作用量」）才是最小的。注意，在這裡我們同樣是在一簇曲線中，求出一條曲線使得某個量達到極值。這種在一簇曲線中，求出某條曲線使得函數取到極值的思想就是變分的核心思想。也就是說，我們又是在用變分求泛函的極值。

再回過頭來看看約翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。雖然雅各布的解法相對於約翰的解法來說更複雜更麻煩，但他的解法更具有一般性，體現了變分的思想。約翰的學生，偉大的數學家歐拉吸收了這一思想，並從 1726 年開始發表相關的論文，最終於 1744 年首先給出了這類問題的解法，並創立了變分學這一新的數學分支。投資者用它來計算最大利潤，工程師用它來計算最小損耗，建築師用它來優化架構。它成為了微積分理論中最強大的工具之一。

 

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