0.999……=1嗎?無窮小量到底是什麼?

2020-12-17 Science科學視界

相信很多人都聽說過這樣一個問題，問0.999無限循環等不等於1，你說不等吧，但是可以通過一些簡單的證明過程證明它們是相等的，比如：1/3=0.333…，然後在這個等式兩邊同時乘以一個3，等式就變成了0.999…=1，我們知道在等式的兩邊同時乘以或除以一個不為零的數，等式依舊相等，那麼這個地方0.999…就應該與1是相等的啊。反過來，你說它們相等吧，但是看上去貌似1要比0.999…大那麼一點點，但是你又不能用數把它表示出來。換句話說就是「1比0.999…大了一個無窮小量」，無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。那麼問題來了，它們到底等不等呢？

首先我直接公布答案，在我們目前接觸到的實數體系內它們就是相等的，意思就是說0.999…和1它們表示就是同一個數。我們不妨用「作差法」來證明，如果a-b=c，當c大於0時，說明a＞b；當c＜0時，說明a＜b；當c=0時，說明a=b。現在用1減去0.999…，你會發現這個結果只能等於0，這個時候有人就要問了，剛剛不是它們之間相差的是一個無窮小量嗎，怎麼這會兒又變成0了呢？因為無窮小量它不是一個數，而是一個變量，零可以作為無窮小量的唯一一個常量，所以這個地方只能是0。

綜上所述，0.999…等於1，無窮小量不是一個數，而是一個變量，零可以作為無窮小量的唯一一個常量。

相關焦點

  • 顛覆你的數學認知:0.999……等於1?無窮小大於0?
    後來在柯西等數學家的努力下，無窮小終於紮下了嚴密的邏輯根基。這裡不去從嚴格的數學形式上討論無窮小，但藉助於1-0.999…，我們將更直觀地理解無窮小的奇妙性質，及它與0的區別。0.999…是關於9的無限循環小數，它是否等於1，即1-0.999…是否等於0，曾在網上掀起了軒然大波。
  • 顛覆你的數學認知:0.9…等於1?無窮小大於0?
    確實，橫跨十七、十八世紀的第二次數學危機，爆發的原因就是人們意識到數學上對「無窮小」這個概念並沒有一個嚴謹的定義。後來在柯西等數學家的努力下，無窮小終於紮下了嚴密的邏輯根基。這裡不去從嚴格的數學形式上討論無窮小，但藉助於1-0.999…，我們將更直觀地理解無窮小的奇妙性質，及它與0的區別。
  • 0.999……=1? 我可能學了假的小學數學!
    小編先問大家一個問題，0.999…=1成立嗎？看到這個等式，相信很多小夥伴都會斬釘截鐵地說：錯了！這兩個數之間明明還相差著一個非常小的數，怎麼看都是0.999…比1小啊！回到問題的開始，覺得0.999…比1小的人通常認為，這兩個數之間相差了一個非常小的，無限接近於0的數，我們姑且認為這個差距存在，並稱之為無窮小量。歷史上第一個與無窮小量打交道的人是古希臘數學家阿基米德。
  • 0.999……真的等於1嗎?
    這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。這個表達式裡的省略號意味著，最後一個9後面會跟著無窮多的9。同理可證，0.999…>1也是不可能的，因此只可能是1=0.999…。我們也可以通過另一種方式完成這個推導。令u=0.999…，那麼我們就得到了m=（u +1）/2=u，因此u+1=2u，所以u=1。
  • 0.999…= 1？
    這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。這個表達式裡的省略號意味著，最後一個9後面會跟著無窮多的9。只有在小數點後邊的數字確定的情況下（如192.252525…），這種表達式才有意義。在這篇文章中，我們會探討這個記數法現在被賦予的真正含義。
  • 對0.999……=1的探討以及實數相等的研究
    然而貝克萊卻對此提出質疑，因為在牛頓的微積分當中，無窮小量做加減運乘運算時可以當作0忽略掉，但在除法運算時卻又不是0，因為0不能做被除數。當時牛頓與萊布尼茨均無法回答這個問題，因為他們都把無窮小看成一個具體的數，於是，第二次數學危機爆發了。
  • 一個看似簡單的問題:0.999無限循環等於1?卻無法得到完美答案
    芝諾提出這個悖論的本意是為了嘲諷當時「畢達哥拉斯學派」的數學思想，在當時出現了這樣一個矛盾，1-0.999無限循環＞0，而芝諾認為1-0.999無限循環=0，當時的人類都把這個論題當作玩笑，後來卻引發了第二次數學危機，直到微積分的誕生數學家才開始重視這個問題。
  • 0.999…真的等於1嘛？
    這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。這個表達式裡的省略號意味著，最後一個9後面會跟著無窮多的9。但是執著的學生依然可以這樣據理反駁：「為什麼在證明1、2、3中，有限小數的運算法則可以延伸到無限小數，但是比較規則卻不可以延伸到無限小數？」這麼一問，我們又回到了原點。在這場爭論中，到底是誰比較有道理？是能用3種方法證明0.999…=1的老師，還是那些堅持比較規則，一心和老師作對的學生？為了解決這個問題，我們需要回到無限小數的定義上去。
  • 你會論證:0.999……= 1?
    這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。這個表達式裡的省略號意味著，最後一個9後面會跟著無窮多的9。只有在小數點後邊的數字確定的情況下（如192.252525…），這種表達式才有意義。
  • 一個看似簡單的問題:0.999無限循環是否等於1?數學危機因此誕生
    在微積分被當時的人類廣泛運用的時候，一個問題出現了，「無限小量」是否等於0 ？牛頓和萊布尼茲都不能很好地解決這個問題。那麼什麼是「無限小量」呢？首先我們來思考這樣一個問題，0.9999……無限循環是否可以等於1？
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    一、無窮小量定義：設f在U0(x0)內有定義，若lim( x→x0 ) f(x)=0，則稱f為當x→x0時的無窮小量. 記作f(x)=o(1) (x→x0).若函數g在U0(x0)內有界，則稱g為當x→x0時的有界量. 記作f(x)=O(1) (x→x0).性質：1、兩個(相同類型的)無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.2、無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.
  • 0.99999循環是否等於1
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  • 0.999...等於1嗎?
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  • 「無窮小量」令人驚豔而困惑,整個「近代數學大廈」差點因它崩潰
    從而引出了「時空」到底是「無限可分的」還是「無限不可分」的追問，因而引發出「運動」到底是「間斷的」還是「連續的」困惑，引出了「無窮小」的「時空」與「很小很小」的「時空」之間的「矛盾關係」到底要如何「統一」起來的深刻問題。
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    額，0.999……怎麼可能等於1呢？算什麼大秘密。。。小表弟告訴我，這個問題是他和同學一起想的，已經可以證明了呢。看完表弟的證明，我也有點懵，看起來好有道理的樣子，難道0.99……真的等於1？看著小表弟渴望得到」權威」認定的眼神，我決定好好研究一下這個問題究竟是怎麼回事，0.999……和1到底是不是相等，如果不相等的話，0.999……和1之間的數是多少呢？一查才發現，這個問題曾經是學術界中出了名的爭論熱點問題。大家的證明方法也是各式各樣：由於1/3=0.333...
  • 「極限」第三節 無窮大與無窮小
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    ... = 1 嗎？最簡單的「證明」最簡單的證明是這樣的：1/3 = 0.333...，兩邊同時乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·裡奇曼（Fred Richman）在《數學雜誌》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等於 1 嗎？》
  • 最讓人糾結的等式：0.999...=1
    0.999... = 1 嗎？　　1998 年，弗雷德·裡奇曼（Fred Richman）在《數學雜誌》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等於 1 嗎？》中說到：「這個證明之所以如此具有說服力，要得益於人們想當然地認為第一步是對的，因為第一步的等式從小就是這麼教的。」
  • 曾經學的整數到底存不存在
    首先寫出1=1，然後等式兩邊同時除以3，就得到1/3=0.333……，最後等式兩邊同時乘以三，就得1=0.999……，自然就證明了。換個寫法，1=0.999……可能好多人還能理解，但如果是1=0.99……99的話，能理解這個等式的估計就不要多了，事實上0.999……=0.99……99，這兩個數是一樣的，完全可以劃上等號，都是無窮多個9。