小編先問大家一個問題，0.999…=1成立嗎？
看到這個等式，相信很多小夥伴都會斬釘截鐵地說：錯了！這兩個數之間明明還相差著一個非常小的數，怎麼看都是0.999…比1小啊！
也許，還會有一些小機靈鬼覺得這個等式是正確的，並給出下面這個證明：
這雖然不是嚴謹的數學證明，但乍一看又是那麼的直觀，那麼的無懈可擊。
這是怎麼回事呢？0.999…和1難道真的相等？
其實，在標準的實數體系（翻譯成人話就是：我們在學校裡學的那套數學）中，0.999…和1確實是相等的，而且是嚴格地相等，沒有一絲一毫的近似。
換句話說0.999…和1其實表示的是同一個數，沒有任何一個實數能夠表示二者的差異。如果把二者做差，結果一定嚴格地等於0，不會是任何不是0的實數。
小夥伴們是不是覺得自己的「數學觀」被刷新了呢？有沒有覺得自己學了一個假數學。
其實不光是你，就連17世紀的大數學家們也曾被這個問題所困擾，甚至直接引發了第二次數學危機！這又是一段怎樣的故事呢，一起來看看吧。
微積分也有Bug？
回到問題的開始，覺得0.999…比1小的人通常認為，這兩個數之間相差了一個非常小的，無限接近於0的數，我們姑且認為這個差距存在，並稱之為無窮小量。
歷史上第一個與無窮小量打交道的人是古希臘數學家阿基米德。
阿基米德曾經發明了一種求解圖形面積的方法，他用一大一小兩個已知面積公式的圖形來無限地逼近一個未知的圖形，以此來求解未知圖形的面積。
用多邊形逼近圓，近似求圓面積。圓的面積大小一定在一大一小兩個多邊形面積大小之間
他發現，如果一次次不斷地逼近未知圖形，把逼近的過程重複無數次，最終通過這種方法計算出的面積只會與未知圖形實際的面積相差一個無窮小量。
那麼這個無窮小量到底有多大呢？阿基米德並不知道，他也不需要考慮這個問題。
因為在實際操作中時間是有限的，並不可能真正地重複逼近無數次，只要結果的精確度夠用就可以了。
就這樣，阿基米德避開了無窮小量的問題，但他的方法不能精確地得到圖形的面積，只能給出估計值。後世把阿基米德的方法稱為窮竭法。
就這樣，關於無窮小量的問題成為了懸案，當它「重出江湖」被人們關注時，已是1800多年後。
17世紀，兩位偉大的數學家，牛頓和萊布尼茨，幾乎同時發明了一種對後世影響深遠的數學工具——微積分。
然而，那時的微積分體系存在著一個嚴重的Bug！
在當時的微積分裡，必不可少地需要引入一個無限接近於0的數——無窮小量。
根據萊布尼茨的表述，在具體的微積分計算中，我們有時候可以用一個數除以無窮小量，有時候可以直接把無窮小量當做0來進行處理。
這個操作直接讓當時其他的數學家懵了，學過小學數學的人都知道，0是不能被當做除數的，任何時候都不能用一個數去除以0。
這個規則可是當時整套數學邏輯的基礎，被稱為數學大廈的地基。
然而，幾乎與0相等的無窮小量似乎逃過了這個「不可動搖」的規矩，當時的數學體系遭到了顛覆性的挑戰，這個事件在歷史上被稱為「第二次數學危機」。
那麼，到底是微積分錯了還是整個數學都有問題呢？
以達朗貝爾和拉格朗日為首的數學家意識到無窮小量可能根本不存在。
直到19世紀，以柯西、魏爾斯特拉斯為代表的數學家發現即便無窮小量不存在，微積分也能很好地被定義，這樣一來既保住了微積分這個好用的方法，又保證了整個數學體系是嚴謹的。
於是，柯西、魏爾斯特拉斯等數學家拋棄了無窮小量的概念，用極限的思想重新定義了微積分（沒錯，就是大學高數課學的那套）。
就此，無窮小量被「殺死」，第二次數學危機宣告結束。今天，這套不存在無窮小量的體系被稱作標準實分析體系。
以上就是函數極限的定義，是不是覺得「很繞腦子」？
這種表述方法叫epsilon-delta語言，利用它，人們能嚴謹地定義極限的概念，既不用引入無窮小，又能把微積分中「無窮的思想」喻於其中，十分地巧妙。
在它的基礎上，導數、不定積分、定積分等微積分中一系列重要的概念也有了很好的定義。
如果有對數學感興趣的小夥伴們想要完整、系統地了解微積分的知識，不妨自己去圖書館借一本《高等數學》來看，這裡就不詳細介紹了。
故事講完了，那我們最開始提出的關於0.999…和1是否相等的問題呢？沒錯，也解決了！
0.999…的小數點後面有無窮多個9，我們最開始假設它與1之間只相差一個「無窮小的量」，然而數學家告訴我們這個「無窮小的量」是不存在的。
這意味著0.999…和1之間不存在任何差異，你無法用任何實數表示二者之間的差異，從所有實數中你也找不到任何一個數能插在0.999…與1之間，二者是嚴格相等的。
無窮小量：想不到吧，我又回來啦！
自從實數的家族裡沒有了無窮小量，一切都變得完美，微積分有了嚴謹的定義，「數學大廈」不再分崩離析，0.999…=1也毋庸置疑。
故事到這裡似乎也應該結束了，然而一個數學家卻讓無窮小量捲土重來。
上世紀60年代初，德國數學家亞伯拉罕·魯濱遜在萊布尼茨的基礎上，提出了一種非標準實分析。
他對無窮小、無窮大等相關概念做出了定義，給「實數家族」添了新成員，對實數進行了擴充，構建起了一套超實數體系，無窮小得以「重出江湖」。
超實數體系通過引入無窮小、無窮大，擴充實數，繞開了epsilon-delta語言。
隨後，數學家證明只要標準實數體系是相容的，這種超實數體系就一定也是相容的。
就這樣，超實數體系出現在人們的視野中，成為了一種處理實數問題的工具。
漸漸地，非標準分析在更廣泛的領域裡也有了一些應用，甚至與數理經濟學也有著微妙的聯繫。
如果你仔細回想，就會發現「數系擴充」這個操作其實並不陌生，從小到大我們都在和這種方法打交道。
一開始我們只會數1，2，3，4…這樣的正整數，後來我們漸漸意識到還有分數存在，再後來我們發現數居然可以是負的，負數映入我們的眼帘。
直到中學的時候我們學到了有理數、實數，現在我們又知道了超實數。
一次次的數系擴充，除了讓我們對「數」的認識一遍遍地被刷新，也能讓我們解決更多具體的問題，讓人們在處理難題時更加方便。