《你學的數學可能是假的》顛覆常規認知，重新定義數學的概念

音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。—克萊因

「晶片砸錢不行，得砸數學家、物理學家、化學家……」華為創始人任正非今年5月在接受媒體採訪時說，「華為至少需要700多個數學家」。

關於數學的重要性，國家科技部、教育部、中科院、國家自然科學基金委在7月聯合發布加強數學科研工作方案，開篇明義：「數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎。數學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發現都與數學的發展與進步相關，數學已成為航空航天、國防安全、生物醫藥、信息、能源、海洋、人工智慧、先進位造等領域不可或缺的重要支撐。」

數學對於生活、國家是如此的重要，隨著科學技術的發展，數學在各個領域的貢獻將越來越大，地位也越來越高，但是學習好數學卻是很多人頭疼的事。我們常常會聽到這樣的說法：「我不適合跟數字打交道、數學太枯燥。」這是事實，還是偏見，在德國作家霍格爾·丹貝克所著《你學的數學是假的》一書中，會明確告訴我們答案。

顛覆認知，重新認識數學

01 數學是什麼—它不是無聊的學科，而是一門藝術

數學是什麼，我們平常很普遍的一種觀點認為，包括老師也會跟我們說：數學嘛，就是計算，將數字代進公式裡，然後解答些應用題。也有很多人認為，數學是有題目，有固定的解法，只要將所有數字正確代進去，就能得到正確答案。

而在《你學的數學是假的》一書中，作者說，數學是一門藝術。數學與音樂、繪畫、舞蹈一樣，屬於藝術之列。數學家更像是「詩意的夢想家」，數學家保羅洛克·哈特說：「數學是最純粹的藝術，同時也是最容易被誤解的藝術。」

為什麼大多數人沒有辦法，體會到數學的樂趣呢，不容易享受到數學帶來的快樂呢？是因為人們對數學產生的誤解： 「數學嘛，就是計算，將數字代進公式裡，然後解答些應用題。

作者在這裡給我們舉了幾個例子， 來說明，數學並不是我們平常認為的那樣，而是充滿了樂趣和藝術的。

例1.把一個三角形放在一個大小合適的矩形裡，假設這個三角形的頂點可以移動的，三角形的邊是橡皮膠製成，保持底邊不變，移動頂點。這裡會有兩個問題：

問題.1>三角形會佔矩形多少面積呢？

問題2>三角形的形狀發生改變，但是三角形的面積大小會不會改變呢？

移動三角形的頂點和矩形左邊點重和

由上圖我們可以看出，當三角形的頂點移動到和矩形最左上邊的點重合時，三角形便把矩形分成了兩個相等的三角形，這時三角形面積佔矩形面積的一半。

那麼問題二來了，三角形的面積會不會改變呢？

繼續剛才的圖片，看三角形在其它形狀的時候，是不是也是矩形面積的二分之一。

無論三角形的形狀如何改變，它始終都佔對應矩形的二分之一

在矩形大小不變的情況下，三角形只要高度沒有變 ，底邊長度沒有變，三角形始終都佔矩形面積的一半,所以三角形的面積也沒有變化。由此，我們還可以推出三角形面積公式。

矩形的面積=長*寬

三角形的面積=矩形的面積/2=底(矩形的長度)*高（矩形的寬度）/2

由此得出三角形的面積公式 g*h/2

通過以上二個圖，我們能很快理解和掌握三角形面積的算法。作者在書中告訴我們，上面所做的就是數學，提出問題，再依靠一個好的點子，就能漂亮地解答問題了。那麼要怎麼樣想出這個好點子呢？是憑巧合、直覺、嘗試、經驗還是運氣？數學家洛克哈特這樣回答：「三角形中像這樣的一條線和畫布上的一筆-兩者都是一種藝術。繪畫和數學，都是為了創造出更美好的事物。

例2. 假如你手上有9枚硬幣。這9枚硬幣中有一枚是假的，比其它的稍重一點點，你要通過天秤來找到這個假幣，但是你只有二次使用天秤稱重的機會。你該怎麼做？

1> 靠運氣隨機選一枚跟其它的對比，運氣好的話，兩次機會可以找出來，但是這個機率好像很小。

2>拿8枚硬幣，各放到天秤的兩端，如果一樣重，剩下那個就是假的，如果一邊重，那假幣就在重的一端，但是從這4枚中如果一次找出來，顯然是不可能的

3>拿出6枚硬幣來稱，如果兩端一樣重，那麼假幣就在剩下沒有稱的三個裡，再把三個其中的兩個放天秤的兩端稱，一樣重，則說明沒有稱的是假幣，如果一邊重，那麼重的一面就是假幣。

第三個方法是不是特容易，特有趣，但是你得想到這個方法。當你把一件看似沒有答案的題，通過自己找到竅門方法解答出來後，是不是特別的開心呢？這就像作曲家又尋找到新靈感，作了一首新的動聽的曲子一樣，令人興奮。

這樣看來，數學不光是在給我們生活帶來便利，給我們生活帶來美好，更重要的是體會到數學跟繪畫，舞蹈一樣，是生活的一門藝術。學習數學也是體驗藝術的美。

二、人人天生都是數學家,生活中處處都有數學

把二塊糖果給一個10個月大的小朋友，他會很開心地握在手中，我們要再想從他手中拿走一塊，那就有點不可能了，他往往會捏得緊緊的，如果強制性拿走，他還會大哭起來。

很多大人認為這是孩子知道護自己的東西了，其實這時候的孩子已經懂得了數學，知道拿一塊走，就變少了。不信你再給一塊給他，變成三塊後，小朋友肯定會更開心。這就是小嬰兒已經具備對數量多少感知能力。

在《你學的數學可能是假的》一書中，講到瑞士發展心理學家讓·皮亞傑認為，兒童最早要到5歲才能形成對數量的感知。

而心理學家普倫蒂斯.斯塔基認為，習以為常的東西會讓人覺得無聊，而出乎意料的東西會令人興奮。於是，他根據這新的思路去測試嬰兒對數字的感知。

斯塔基將72個16-30周大嬰兒帶進費城大學的實驗室。首先給寶寶們看屏幕上出現的二個點，這二個點的位置，會不斷地變化 ， 測試到寶寶們眼著顯示屏上的點的時間為0.2秒。

後來從一張圖像切換到另一張圖像的時候，不僅點的位置，發生了變化，還新增了一個點，這時寶寶的注意時間增加了0.5秒。由此斯塔基總結出，嬰兒注意到了從2個點到3個點的變化。在他們會說1、2、3之前，就已經對數量有了基本感知。

像上面10個月大嬰兒拿糖果的例子，心理學家凱倫·溫還測試出了5個月嬰兒的計算能力。在幕布後有兩個玩偶，然後將幕布拉開，讓孩子們看到這兩個玩偶的存在。在實驗中讓孩子們看著把玩偶拿走一個，由之前的二個玩偶變成一個時，孩子們還會盯著幕布，期待另一個玩偶出現，他們會認為，這裡面還有一個玩偶，這時孩子們的已經懂得了計算。

不光是小嬰兒，其實在動物界裡，很多動物們也有著驚人的數學天賦。在書中講了這樣的一個例子：

1994年，劍橋大學的動物學家在坦尚尼亞的塞倫蓋蒂公園，對獅子進行了一項有趣的研究。獅子們通常是多達20多頭獅子群居。獅群之間常常是井水不犯河水，都有自己的領地。然而獅群之間也有不期而遇，有時候也會有戰鬥，多數的時候，以數量多的獅群取勝。

獅子們的吼叫聲在交流中起著重要作用，他們會一個吼叫，也會一群吼叫，他們一個個輪流發出吼叫，類似合唱團的聲音。獅群決定是否戰鬥，就會聽對方的聲音來判斷數量的多少，當對方的聲音，多於自己數量，他們便不會戰鬥，少於自己的數量，便會投入戰鬥。可見動物們天生也是數學家。

書中還介紹了老鼠、蜜蜂、海豚、猴子等動物的計數的本領。

從小嬰兒到動物們對數量的感知，和簡單的數學運算，我們可以發現，數學存在於生活中的每處，每個人對數學都有著與生俱來的天賦。

三、為什麼你沒有學好數學-打破固化思維，創新才是學好數學的關鍵

問學校的學生，你最喜歡哪些科目，你最不喜歡哪些科目，統計答案會發現，最喜歡的科目是數學，最不喜歡的科目也是數學。為什麼數學會讓人如此的極端，最愛的是它，最討厭的也是它呢？很多人會說，喜歡數學的人都是學數學學的好的人，討厭數學的都是學不好數學的人。

在上面講過，我們天生都有數學天賦，為什麼學習起數學來，還是會出現「數學恐懼症」呢？是老師教得不好，還是受其它人對數學評價的影響，導致我們沒有能學好數學呢？

在《你學的數學可能是假的》一書中告訴我們，學數學的關鍵是要有創新能力，還要選適合自己的方法。才能學好數學。如果固化了思維，肯定是沒有辦法學好數學的。

首先看下，我們是如何在課堂上固化了思維的。

1980年，法國數學教育研究所的教育學家對來自格勒諾布爾的一批小學生提出了一個問題：一艘船上有26隻綿羊和10隻山羊，請問船長的紀有多大？

在參與回答問題的97名學生中，有76名學生真的計算出了答案，學生們很可能是用26+10得出的36歲，顯然這個答案是胡扯的。

還有更有趣的例子：20世紀90年代中期，德國多特蒙德工業大學的科學家在測試一批小學生時觀察到，哪怕不需要計算，人們也會開始計算。

一個27歲的牧羊人，有25隻綿羊和10隻山羊，請問牧羊人的年經有多大？

於是便有了這些答案 27+25+10或者27+25-10 等等答案。

筆者也曾把這些題給自己的女兒來算，果不其然，她也是拿筆便算。我問她為什麼要算呢，她說出題就是要算的啊，我才不管三七二十一，先算了再說。

學者亨德利克·拉達茨在對德國小學生，和幼兒園兒童的一項研究，也發現了這一點。他向300個孩子提出了那個「船長問題」。結果發現，孩子越大越容易算出一個 「答案」。三、四年級的學生算出答案率是71%！這些人都沒有經過思考，就盲目地計算。

這些原因就是在課堂上，孩子們集中練習大量習題。題目本身幾乎無關緊要，並且與實際生活沒有聯繫。他們只需要反覆將數字代入題目，那他們就不會仔細讀題。還有就是給出的思考時間不夠，孩子們無法深刻理解題意，就急於求答案。

其次，合乎邏輯的想法，但不一定是對的，要多角度考慮問題。

四年級的課堂上的作業中的一道題: 把1750克的甘草片裝進小袋子裡，每袋有50克，一共能裝多少袋？安妮卡給的答案是35袋。解題過程如下圖。

安妮卡的解題過程

老師卻不理解安妮卡的解題方法，認為她只是碰巧寫對了答案。第二天讓她重新算這了個題，她依然用了同樣的方法，並且計算正確。老師問，有沒有人能解釋她的計算過程，而一位同學給出了這樣的解釋：

安妮卡解題思路

你看到這個解釋是不是被驚豔到了，書中告訴我們，不要忽視那些不常見的方法，因為這些方法非常重要。小學生的思考往往比我們成人表面的見解更理智、更有條理、更聰明。

最後，也是最重要的一點，不要怕犯錯。

數學的答案，非對即錯，沒有第三種答案，但是往往正確的計算方法也會因為一個小小的失誤，造成錯誤的答案。在這個時候，很多人會批評孩子，「你不能這樣算」，或者是認為孩子在數學上學習不行，如上面安妮卡的算法，明明答案對了，因為老師對解題過程不理解，認為孩子是蒙對的。

長期以往，家長和老師的否定，也會打擊孩子創新思考問題的積極性，讓孩子失去了學習的興趣。他們認為自己想的反正總是錯，就按你們的（固定解題方式）來吧，從來把學數學當成了機械的運動，而沒有當成藝術，帶來的不是樂趣，而是痛苦。

書中教導我們，在孩子犯錯的時候，不要一昧地批評，誰願意天天聽到自己全錯了呢？ 這時我們要從孩子的解題過程中，找到對的地方，給予表揚，這樣會讓孩子有更大的學習動力，從而做得更好。

都說條條大路通羅馬，解數學題也是一樣。老師在課堂上可能為了省事，只討論一種解題方法，他們覺得對於差點的孩子，一種方式就夠他們學習了，沒有必要講更多。殊不知，這樣限制住了孩子的思維。枯燥的學習，讓孩子們沒有興趣，進而造成差的成績，從而他們會認為，自己不擅長學習數學，造成一種惡性的循環。

教育學家施萬克認為數學不是選出標準答案，「數學的意思是討論和爭辯，數學方法才是學習的目的」。所以想學好數學，首先要拋開，我們那種陳舊的觀念，認為數學就是計算。其次是打破固化的思維，數學跟藝術一樣，是沒有標準的解題過程，只要是對的，那隨便什麼方法都是可以的。只有思路開闊，才能自由發揮我們的想像，才能激發靈感，才能學得更好。