相信你經常會看到有人說循環小數0.999......等於1，這讓你覺得不可思議，但又苦於證明過程比較高大上，你可能覺得自己理解的還不夠透徹，所以我們今天就聊一聊如何用基礎數學證明循環小數0.999......等於1，對你沒看錯，是基礎數學，沒有微積分，沒有極限，沒有任何高端的數學概念。順便我們在討論下無窮領域將給我們人類認知宇宙將帶來什麼困惑？讓我們開始吧！
方法1，證明0.999...=1
可能你一直沒有意識到，我們可以很容易地把任何循環小數寫成分數。如果你有一個個位數的循環小數，把重複的那個數字寫在分母9上，像下圖這樣:(如果你不放心的話，可以拿出計算機驗證下）
如果你有一個2位數字的循環小數的話，請在分母99上寫下循環的數字.
如果你有一個3位數字的循環小數，可以將循環數字寫在分母999上.
如果是N 個循環數字，公式是：
結論
其實這個公式已經顯示出0.999…等於1了。我們還是往下證明吧！從0.999…等於它的等效分數開始。
顯然，9÷9 = 1。所以我們有：
證明完了，簡短精悍，不過我能感覺到你的面前飄來很多問號，這簡直違法直覺，怎麼可能這麼簡單？那我們繼續，不過接下來這個方法更簡單！
方法2，證明0.999...=1
我們知道1/3等於0.33333…2/3等於0.66666…，所以1/3+2/3必須等於0.3333…+0.6666…，對吧？
兩邊相加，結果又來了：
數學迷們可能又有點失望了，因為這太簡單了。因為我們感覺到越簡單越沒有說服力，大家喜歡哪種看起來超複雜，又高端的方法，如果你想再多看一會，那我們接下來用一個很好的無窮級數來說明為什麼以上等式是成立的。前面說過我們今天不做那些複雜的數學運算，但是我害怕你們覺得被忽悠了。那麼開始吧。
方法3，無限級數法
讓我們從分解0.999...開始。
如果你回想一下你上小學的時候，你就會想起有一位和藹可親的老師向你解釋怎樣分解數字的位數，
所以我們可以以同樣的方式寫0.999…為：
或分數形式：
如果我們把前5個值相加，我們得到0.99999，如果我們不停地寫出十進位展開式，我們可以把它寫到無窮大，無窮長，無窮遠，想繞地球幾圈都可以！這樣我們將得到精確的0.9999999999…。手工將小數展開到無窮大是不可行的，這就是為什麼用簡寫的原因。
我們先將9提出來。
然後將分母重寫為10的冪。
現在用符號∑表示無窮求和。
希臘字母西格瑪∑在數學中用來表示重複加法。求和中的第一個值是通過將n的值代入∑下面來得到。如果n = 1,所以我們得到(1/10)。下一個值代入n = 2, (1/10)。然後代入n = 3，(1/10),等等。一直這樣往進代，直到等於∑符號上面的值。在上面式子中，上方的值為無窮大，所以沒有終點。所有這些代入生成的值相加，然後整個和再乘以9，我們就能得到這個無窮數列的值，可是我們要先考慮的是無窮數列求和的問題。
考慮求和的方法是在上面的式子中每一個連續項都是由前一項乘以一個公比得到的。這意味著我們有一個收斂到a/(1 - r)的幾何級數，其中a是級數的第一個值，r是我們得到下一項乘以的比值，也就是前一項和後一相的公比。
級數的收斂性意味著當你向級數中添加越來越多的項時，級數會越來越接近一個特定的值。這個級數正無限逼近收斂值。在我們的例子中，我們從1/10開始，每一項都乘以1/10來得到後一項，所以a和r都等於1/10。
由於a=1/10, r=1/10，我們可以將a和r組合起來，將求和調整為n=1，這與我們對這個問題的原始求和非常匹配，完成右邊的運算。
現在我們正式證明了0.999收斂到或等於1。
最後的想法和靈感
這個結果讓人覺得很奇怪!兩個不同的數竟然相等。這個問題的反直覺本質是無窮領域帶來的陌生感和奇異性。
通過這樣一個簡單的問題，我們人類的大腦從一個能感知到的範圍進入了一個超出我們所能理解範圍。人類作為有限的存在，我們可以把握和理解無限或永恆的概念，但我們永遠無法真正體驗無窮的本質。這意味著，在我們有限的感知世界裡，我們所得到的真理，往往在無限的層面上將表現得不同。
很多夥伴們都認為也很樂意承認宇宙的無限，但是宇宙的無限將給我們人類帶來極大的困惑，它將和0.999...無限逼近1或等於1一樣，超出我們人類理解和感知的範疇。無限的宇宙將帶來無限的可能，這將導致我們人類目前的宇宙認知可能在無窮的時空中被顛覆。所以我們不要期盼著宇宙真的無限，這樣我們人類在浩渺的宇宙面前還可能有「出人頭地」的一天。