在介紹二十世紀中前期的數學三大流派之前，我想先提一下數學的「學派」，數學學派比數學流派要多的多。一個學派往往是很多知名的數學家在一個共同的地方，做出一系列的研究，並堅持一定的學派風格。在《基礎教育百科全書·數學卷》(設計書)中，提到的數學學派有：伊奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、詭辯學派、智人學派、埃利亞學派、原子論學派、雅典學派、柏拉圖學派、亞里斯多德學派、亞歷山大裡亞學派、哥廷根學派、柏林學派、彼得堡學派、義大利代數幾何學派、法國函數論學派、直覺主義學派、邏輯主義學派、形式主義學派、普林斯頓學派、莫斯科學派、函數論學派、拓撲學派、劍橋分析學派、波蘭學派、華沙學派、利沃夫學派、布爾巴基學派等。
可以看到，中世紀以前的數學學派和哲學學派幾乎是重合的。通過學習《西方哲學史》可以了解到很多相關的東西。數學本身源於自然哲學。當數學科學逐漸從哲學中分離出來，但是數學基礎仍然帶有濃厚的哲學味。關於每個學派，都有一段很長的故事，其中的每個數學家都有很多激動人心的作品，和帶有傳奇色彩的故事。看M.克萊因的四卷本《古今數學思想》和E.T貝爾的《數學精英》，我們可以了解到很多數學家的故事。
直至近代，通過參閱《當代數學精英－菲爾茨獎獲得者傳》，和《當代數學大師:沃爾夫數學獎得主及其建樹與見解》等書，可以對20世紀以來的數學有大概的了解。
莫斯科學派和哥廷根學派是我最喜歡的兩個學派。兩個地方都曾經雲集過一大批著名的數學家，有長久的數學歷史傳統和深刻的數學文化。
關於哥廷根學派
哥廷根學派是在世界數學科學的發展中長期佔主導地位的學派，該學派堅持數學的統一性，思想反映了數學的本質，促進了數學的發展。
高斯開始了哥廷根數學學派的起始時代，他把現代數學提到一個新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數、幾何、數論和分析領域做出了貢獻，克萊因和希爾伯特使德國哥廷根數學學派進入了全盛時期，哥廷根大學因而也成為數學研究和教育的國際中心。
哥廷根學派是世界數學家的搖籃和聖地，但希特勒的上臺，使它受到致命的打擊。大批猶太血統的科學家被迫亡命美國，哥廷根數學學派解體。【1】
關於莫斯科學派
百年來，蘇俄湧現了上百位世界一流的數學家，其中如魯金，亞歷山德羅夫，柯爾莫戈羅夫，蓋爾範德，沙法列維奇，阿洛爾德，諾維可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥爾茨，科瓦列夫斯卡婭等都是響噹噹的數學大師。而這些優秀數學家則大多畢業於莫斯科大學。莫斯科大學所湧現的優秀數學家其數量之多，質量之高，恐怕除了19世紀末20世紀初的哥廷根大學。在20世紀就再也沒有那個大學敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學也沒有出過這麼多的優秀數學家，莫斯科大學是當之無愧的世界第一數學強校。
莫斯科學派我最欣賞裡面的阿諾爾德。他寫的書都深入淺出，把高深的數學理論用簡單的數學語言寫出來，並舉出很多生活中的實例，與數學理論相聯繫。他是個對數學理解非常深刻的數學家。看他的作品非常的享受，如《常微分方程》、《動力系統》、《經典力學的數學方法》。
很遺憾的是中國還未嘗有過什麼如此著名的數學學派，更不談流派了。中國的數學發展，還需要更多的年輕人的投入和奮鬥。
在下面要談到的三大流派中，涉及了很多當時世界上一流的數學家，邏輯學家，哲學家。他們為數學基礎的完善做出了巨大的貢獻，在這裡我們向他們致以崇高的敬意。
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【1】『注』這裡只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)；馮·諾依曼(1903～1957，傑出數學家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)；哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)；諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)；費裡德裡希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)；外爾(1885～1955，傑出的數學家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。
集合論在19世紀末由康託建立後, 集合概念成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。1900 年，在巴黎召開的國際數學家大會上，龐加萊曾滿懷信心的說：「 現在我們可以說，完全的嚴格化已經達到了。」 可是這話說出後還不到3 年，英國數學家羅素於1902年給德國數學家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數學基礎發生動搖，用弗雷格的話說：「突然它的一塊基石崩塌下來了。」
羅素的集合悖論：
集合可以分為兩類：第一類集合的特徵是：集合本身又是集合中的元素，例如當時人們經常說的「所有集合所成的集合」；第二類集合的特徵是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。顯然，一個集合必須是並且只能是這兩類集合中的一類。現在假定R是所有第二類集合所成的集合。那麼，R是哪一類的集合呢？ 羅素悖論一個通俗的說法是理髮師悖論：
在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：「本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！」來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。
集合論中為什麼會產生矛盾這個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇。
從1900年到1930年的30年間，許多數學家捲入了一場關於數學哲學基礎的討論，並逐漸形成不同的數學基礎學派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個學派。
1.邏輯主義的歷史淵源
邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時代，他把邏輯學想像成一種普遍的科學，這種科學包括構成其它所有科學的基礎的一些原則，這種邏輯學先於一切科學的觀點，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他並未能開展這一方面的工作。到了19 世紀，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發揮，並且都取得了不小的成就。
2.邏輯主義的基本思想
邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數學家、哲學家和邏輯學家羅素，他與懷特海於1913年完成了邏輯主義的經典代表作---《 數學原理》。作者企圖在這3卷本的數學巨著中向人們說明：全部數學可以以一個邏輯公理系統嚴格推導出來，也就是說可以從邏輯概念出發用明顯的定義得出數學概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數學定理。從而，使全部數學都可以從基本的邏輯概念和邏輯規則而推導出來。這樣，就可以把數學看成是邏輯學延伸或分支。所以，羅素說：「邏輯學是數學的青年時代，而數學是邏輯學的壯年時代。」、「數學即邏輯。」
羅素在他的《 數理哲學導論》一書中進一步的闡述了他的主張：「 通過分析來達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發能使現在作為出發點的東西得以被定義和演繹出來」 。那麼是什麼樣的思想原則呢？羅素接著說：「 應當以一些已被普遍承認了的邏輯的前提出發，再經過演繹而達到那些明顯的屬於數學的結果。」 即把數學化歸於邏輯，這是他的基本觀點。
在《數學原理》中，羅素和懷特海曾通過純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當時的數學嚴格的推導了出來，獲得成功。故羅素宣稱：「 從邏輯中展開純數學的工作，已由懷特海和我在《 數學原理》 中詳細的做了出來。」 但是，事實並非如此，羅素從一個邏輯系統推導數學時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無窮公理則自然數系統就無法構造，更不要說全部數學了。所以，羅素並沒有將數學化歸為邏輯，而是化歸為集合論。
要從邏輯推出全部數學，就必須發展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒有相容性的，但是，在邏輯系統中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論。可後來羅素與懷特海所做的工作並沒有很好的解決這個問題，進而遭遇了不少困難。
數學基礎學家一般都不接受「數學就是邏輯」的觀點；同樣也不能接受「一切數學思維都是邏輯思維」的說法。但是，儘管如此。羅素與懷特海合著的《數學原理》一書在20世紀的科學技術發展中影響很大。它以當時最嚴格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標誌符號邏輯方法的成功。並顯示了數學的邏輯基礎研究的意義，因而進一步的顯示了現代邏輯的科學意義。
《數學原理》一書成為名著。儘管邏輯主義的主張不能實現，邏輯主義的數學觀不能為數學基礎學者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當成功的把古典數學納入了一個統一的公理系統，使之能從幾個邏輯概念和公理出發，再加上集合論的無窮公理就能推出康託集合論、一般算術和大部分數學來。這把邏輯推理發展到前所未有的高度，使人們看到，在數理邏輯演算的基礎上能夠推演出許多數學內容來，形成了集合論公理系統的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對數理邏輯後來的發展起了決定作用，是近代公理方法的一個重要起點。
一般認為，形式主義的奠基人是希爾伯特，並把希爾伯特的數學觀和數學基礎稱作為「形式主義」，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。而希爾伯特本人並不自命為形式主義者，他的學生貝爾奈斯也不認為希爾伯特是形式主義者。
1.形式主義的形成
形式主義理論體系是在非歐幾何產生之後，在數學和數學哲學研究中瀰漫的「重建數學基礎」的氣氛中形成的。
當非歐幾何得到人們的承認，亦即當得出互相矛盾的定理的兩種幾何都證明了不自相矛盾的時候，人們便要問：數學的真理體現在那裡？試想，一種幾何說，過直線外一點只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說，過直線外一點至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說：過直線外一點不可以做任何直線於原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎？理應至少有兩個是錯誤的，為什麼三個幾何都成立呢？
德國著名數學家希爾伯特主張，保衛經典數學和經典的數學方法，並且發展他們。他認為，經典數學，包括由於集合論的出現而發展起來的新的數學方向，都是人類最有價值的精神財富；為了在數學中避免出現悖論，就設法絕對的證明數學的無矛盾性，使數學奠定在嚴格的公理化的基礎上，數學的公理和邏輯推理就像天文學家手中的望遠鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實現這一目的，希爾伯特在1922 年提出了著名的希爾伯特計劃 。
2.形式主義的基本思想
希爾伯特計劃的主要思想就是：奠定一門數學的基礎，應該嚴格的、數學的證明這門數學的協調性（即無矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計劃的數學內容就是數理邏輯中的證明論。
希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數學基礎》是希爾伯特計劃的代表作。
希爾伯特計劃 ，將各門數學形式化，構成形式系統，然後用一種初等方法證明各個形式系統的相容性，即無矛盾性，從而導出全部數學的無矛盾性。
他區分了3 種數學理論：1. 直觀的非形式化的數學理論；2. 將第一種數學理論形式化，構成一個形式系統，把直觀數學理論中的基本概念轉換為形式系統中的初始符號，命題轉換為符號公式，推演規則轉換為符號公式之間的變形關係，證明轉換為符號公式的有窮序列；3. 是描述和研究第二種數學理論的，稱為元數學、證明論或元理論。元數學是以形式系統為研究對象的一門新數學，它包括對形式系統的描述、定義，也包括對形式系統性質的研究。
形式主義的提出是數學發展史上最重要的轉折點，它標誌著元數學的建立。從此，數學的發展進入研究形式系統的新階段。
這裡我們要說明一點：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統出發，不同點是：邏輯主義者當追到邏輯公理系統時，不再持有原來的對公理體系的觀點，而要求邏輯公理系統具有內容，而且想方設法探求邏輯規律的真理性究竟體現在什麼地方，形式主義者則不然，他們認為數學的公理系統或邏輯的公理系統，其中基本概念都是沒有意義的，其公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統是相容的，不互相矛盾的，該公理系統便得承認，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統也認為是沒有內容的，不能由內容方面保證其真理性，於是便只留下「相容性」即「不自相矛盾性」作為真理所在了。
希爾伯特原來設想，數學的相容性證明可以限於有窮的構造性方法範圍之內。但是研究表現，這個範圍應當加以擴充。哥德爾的不完備性定理說，「任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以在其中定義自然數的概念，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。」 、「任何相容的形式體系不能用於證明它本身的相容性」。 這個定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數學基礎思想卻發展了元數學，這就把形式心理學向前推進了一步，促進了數學的發展。現在，元數學（證明論）已發展為數理邏輯的四大分支之一。
形式主義的代表人物有美國數學家魯濱遜和柯恩等人。他們認為：數學應該被看作一種純粹的紙上符號遊戲，對這種形式的唯一要求是不會導致矛盾。
但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。
1.直覺主義的歷史根源
直覺主義的思想可以追溯到亞里斯多德時期，亞里斯多德是歷史上第一位反對實無窮，只承認潛無窮的哲學家。直覺主義的哲學觀點則是直接淵源於康德和布勞威爾的自然數源於「原始直覺」，即是康德的「自然數是從時間的直覺推演出來」的主張。
19世紀的克羅內克強調能行性，說當時好些定理都只是符號的遊戲，沒有實際意義。他認為：「上帝創造了自然數，別的都是人造的。而整數在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑。」 其意是說，只有自然數是真實存在，其餘都只是人為做出的一些文字符號罷了。他還主張在自然數的基礎上來構造整個數學。
20 世紀初，龐加萊亦持自然數為最基本的直觀及潛無窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺主義或法國經驗主義亦強調能行性的觀念。
他們公開否認選擇公理，認為根據選擇公理而作的集合，根本沒有能行性，不能承認其存在。他們提出能行性的概念，沒有能行性的便不承認其存在。他們都是直覺主義的先驅。所有這一切，都為布勞威爾的直覺主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅們之大成，系統的提供了直覺主義的主張。
2.直覺主義的數學觀思想
直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數學家布勞威爾, 從1907 年布勞威爾的博士論文《 數學的基礎》 開始，直覺主義者逐步系統的闡述了他們的數學觀和重建數學基礎的主張。
他的數學觀包括以下幾個方面：
(1) 他對數學對象的觀點。
他提出一個著名的口號：「存在即是被構造。」 他認為，人們對數學的認識不依賴於邏輯和語言經驗，而是「原始直覺」（即人皆有的一種能力），純粹數學是「心智的數學構造自身」、是「反身的構造」，它 「開始於自然數」，而不是集合論。這種數學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立於人們的知識無關，與人們所持的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就怎樣，數學判斷應該是永恆的真理。
因此，布勞威爾不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系。
實無窮論者認為「 自然數全體」 就是指自然數集{1，2，3，……} ，這是一個確實存在了的完成了的集合，可以而且應該作為數學研究的對象。
潛無窮論者否認實無窮，認為無窮只是潛在的，並不是已完成了的封閉實體，只是就其發展來說是無窮的。在他們看來，自然數1，2，3，……只能是永遠處於不斷被構造和生成的過程，而不是完成了的、封閉實體。
所以，諸如「自然數全體」這樣的概念是沒有意義的。
(2)對數學所用的邏輯的觀點。
布勞威爾對數學對象的觀點直接導出了他對數學所用的邏輯觀點；認為「 邏輯不是發現真理的絕對可靠的工具」 ，並認為，在真正的數學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的規律，因此不能無限制的使用到無窮集上去。同樣不能使用反證法。
直覺主義對20世紀數學的發展產生很大的影響。本世紀30年代以後，由於哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。數學家們紛紛嘗試用構造法建立實數理論、數學分析以至全部數學，得出不少重要結果。
構造性數學已經成為數學科學中一個重要的數學學科群體，與計算機科學密切相關。1967年，美國數學家畢肖普完成並出版《構造性分析》一書，開始了直覺主義學派的構造主義時期。
歷史證明，三大流派都有各自的優點和缺陷，但是他們彌補了數學基礎的很多不足，為數學的嚴密性提供了更加精確的符號和語言。用G. H. Hardy的一句話來結束這篇文章吧：「Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.」