我曾告訴一個友人，我用數學嘗試去了解偏頭痛。她以為我請偏頭痛患者做心算，以減輕他們的症狀。這當然不是，我真正做的是運用數學理解偏頭痛的生物學原因。
生活中我們往往忽略的一個重要事實是：數學可以理解世界。你可能會提醒我：這一事實並不明顯。在這篇文章中，我要討論一個大問題：「為什麼數學可以用來描述世界」，或更挑釁般地延伸為「為什麼應用數學如此強大？」要做到這一點，我們需要回顧一般數學哲學---大體上稱為元數學---的悠久歷史。
什麼是應用數學令人驚奇的事實：世界能由數學理解
在進一步闡述之前，我們應該清楚應用數學意指什麼。我將借用一下20世紀和21世紀的一個重要應用數學家、劍橋大學的流體力學G.I.泰勒（G.I.Taylor）講座教授Tim Pedley給出的定義。他在數學與應用研究所2004年的就職演說中指出：「應用數學是指用數學的技術，對非數學領域提出的問題給出答案。」這個定義是相當廣泛的，包括從數值變化到氣候變化，正是這種廣泛定義的可能性是我們將要討論的奧秘中的一部分。
為什麼應用數學非常實用？這個問題比其他任何你可能會問的有關數學的本質的問題更重要。首先，由於應用數學是數學，它會引發傳統上對元數學所產生的所有的同樣問題。其次，作為應用，它在科學哲學上必然會提出一些需要討論的問題。這個情況可以被視為我們的一個大問題，事實上它也是科學和數學哲學的大問題。討論這些問題之前，讓我們先轉向元數學的歷史：數學、它的本質及適用性已經被了解了多少？
元數學雅典學派的柏拉圖和亞里斯多德
歷史上的數學一般沒有純粹和應用數學之間的區別。然而，近代數學在過去的兩個世紀中出現了純數學幾乎獨佔鰲頭的局面，尤其在強調了所謂的數學基礎---即使數學命題為真的東西是什麼？對基礎感興趣的元數學家們通常分為四大陣營：
形式主義者，如大衛·希爾伯特，他們認為數學基於集合論和邏輯的組合，並在一定程度上把做數學的過程視為根據某些既定規則所作的本質上毫無意義的符號洗牌。
邏輯主義者把數學看著是邏輯的延伸。著名的邏輯主義代表人物伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·懷特海花了數百頁的篇幅，以（從邏輯上）證明一加一等於二。
直覺主義者的響噹噹人物是L.E.J.布勞威爾，有人這樣評價他說：「他不會相信是否在下雨，直到他看到窗外以後」（根據Donald Knuth）。這句話諷刺直覺主義者的中心思想：拒絕排中律。這普遍接受的定律說：一個命題（如「下雨」）或真或假，即使我們還不知道它到底是真是假。相反，直覺主義者認為除非你已經完全證明了該命題或構造了反例，它沒有客觀的真實性。此外，直覺主義者對他們能接受的無窮符號給出嚴格限制。他們相信數學完全是人類心智的產物，並且他們規定數學僅能把無窮用於1-2-3類型過程的算術延伸。結果，他們在證明中僅僅允許可數的運算，即能由自然數描述的運算。
最後，作為這四個陣營的最老成員，柏拉圖主義者相信外部的現實，以及數很數學之外其他事物的存在。對於像哥德爾(Kurt Godel)這樣的柏拉圖主義者，數學存在於人類心智之外，也可能在物理世界之外，但是在人類的心智世界和數學的柏拉圖王國之間有一種神秘的聯繫。
人們爭論著這四種流派的哪一個---如果有的話---可以充當數學的基礎。好像這些被純化的討論與應用問題毫無關係，但也有說法認為這種關於基礎的不確定性恰恰影響了數學的應用。在《確定性的消失》(The Loss of Certainty)這本書中，克萊因(Morris Kline)在1980年寫道：「關於什麼是健全的數學的危機和衝突也已經阻礙了數學方法論在哲學、政治學、倫理學、美學等文化領域中的應用[...]理性時代已經一去不復返了。」令人感激的是，數學現在開始用於這些領域，但是我們已經學到一個重要的歷史教訓：對於數學應用的選擇，有一個敏感於元數學問題的社會學維度。
數學基礎與數學可適用性世界是數學的，還是人類心智的構建？
思考數學適用性的元數學家合乎邏輯的下一步是問：關於我們的大問題，關於數學基礎的這四大學派觀念中的每一個將斷言什麼？關於這方面的討論已出現在一些數學家和科學家的著作中，如彭羅斯(Roger Penrose)的著作《現實之路》(The Road to Reality)或戴維斯(Paul Davies)的著作《上帝的思考》(The Mind of God)。
我將通過倒轉「合乎邏輯」的下一步來走另一條路：我想問「對數學的可適用性而言數學基礎必須說些什麼？」在問這一問題時，我先假定數學有用這個命題是沒人反對的，現代科技極端依賴數學的眾多例子已見證了這個事實。
那麼一個形式主義者怎麼解釋數學的可適用性呢？如果數學真的除了是世界上這個歷時最長、玩家最多的遊戲中的數學符號洗牌之外，別無他物的話，那麼它談何去描繪世界？數學遊戲有什麼特權比其他遊戲更能描繪世界？記住，該形式主義者必須在形式主義者的世界觀裡回答問題，故不允許訴諸柏拉圖之類的數學更深層意義或與物理世界深藏不露的聯繫。由於類似的理由，邏輯主義者也掙扎不已，因為如果他們說：「嗯，也許世界是邏輯的體現」，那麼他們悄然地假設能被體現的邏輯柏拉圖王國的存在性。這就把邏輯主義置為柏拉圖主義的一個分支，如我們下面要看到的，它將出現它自己的重大問題。因而對於形式主義者和非柏拉圖主義的邏輯主義者而言，應用數學的存在性可以嚴重挑戰他們的地位。
不僅邏輯主義而且形式主義都不再被廣泛相信，儘管有這樣的陳詞濫調：數學家在一周之中是柏拉圖主義者，而周末是形式主義者。這兩種觀念都不再受寵，其理由不是關於數學的可適用性這一潛在的大問題，而是基本上與哥德爾(Godel)、Thoralf Skolem及其他人的工作有關。
第三個的基礎直覺主義自始至終就未獲得大量支持。如果說它被考慮到的話，大部分時間是被數學家們抱怨地說起。它所提供的高度限制性的證明工具箱和奇怪的不確定符號，以及一個命題非真非假直到一個構造性證明出現為止，讓這種觀點對許多數學家而言都毫無吸引力。
然而，宇宙中各種過程及可數本質的中心思想似乎可從現實中導出。物理世界，至少我們人類所感知的，似乎由可數多個事物組成，且我們可能遇到的任何無窮性都是延伸一個計數過程後的結果。以這種方式，直覺主義或許來自於自然是至多可數的無窮這一物理世界的現實。直覺主義看上去給予數學的可適用性問題提供了一個優雅的回答：數學是可適用的，因為它來自於現實。
但是，更細的探究會讓這個回答土崩瓦解。首先，現代數學物理中有許多東西，比如說量子理論，需要超過可數的無窮概念。單單這點就可能永遠超過直覺主義數學的解釋能力了。
有一個現代思想可能獲益於直覺主義者的有窮論邏輯，即所謂的數字物理。它認為宇宙近似於巨型計算機。例如，基本粒子由它們恰好在某個給定時刻的量子狀態描述，就像計算機科學中的比特由它的0或1值所定義一樣。宇宙就像一臺計算機那樣建立在狀態信息的基礎之上，它的演變從理論上講可以由巨型計算機模擬。因此有數字物理的座右銘：「它來自比特」。
但是，這個世界觀也未能成為真正直覺主義的，它似乎潛入到柏拉圖的一些想法之中。資訊理論的比特看似假定派生出物理世界的信息之柏拉圖式存在性。
但更根本的是，直覺主義對非直覺的數學為什麼是可應用的問題回答不了。很可能一個非直覺的數學定理有了直覺的證明時才適用於自然世界，但此斷言尚未建立。此外，雖然直覺數學看起來好像從現實世界派生而來，但尚不清楚人類心智的對象是否就是需要忠實代表物理宇宙的對象。
建立在數學的形象中伽利略相信世界是以數學語言書寫的。他面對羅馬宗教裁判所宣稱地球圍繞太陽轉。
形式主義和邏輯主義都沒有回答我們的大問題。關於直覺主義是否能做到的判斷也已經作出，但巨大的概念困難依然存在。那麼，柏拉圖主義能做什麼？
柏拉圖主義者認為物理世界是數學王國的一個不完善的影子。物理世界在某種程度上出現於這種柏拉圖王國中並植根於它，因此世界的對象及其之間的關係是柏拉圖王國的對應影子。世界由數學描述的事實不再是一個謎，因為它已成為一個公理：世界紮根於數學王國。
但是更大的問題出現了：為什麼物理王國出現並植根於柏拉圖王國？為什麼精神王國來自物質世界？為什麼精神王國與柏拉圖王國有某些直接關聯？
確實，我們生活在一個神聖的宇宙之中，並通過學習數學和科學來分享神聖的心靈，這一信念已經可以說是理性思維的時間最長的動機，世代相傳，從畢達哥拉斯、牛頓，到今天的許多科學家。在這個意義上說，「上帝」似乎在時空世界既非一個對象，也非物理世界中的對象總和，更不是柏拉圖世界中的一個元素。相反，上帝是接近柏拉圖王國整體的某樣東西。在這種方式中，上面所述的柏拉圖主義者所面對的很多困難與猶太教和基督教世界神學家所面臨的相同。
假如我們認為上面的大問題是有答案的，那麼伽利略的「宇宙之書」寫於數學「語言」的不朽言論是一種尋求答案的柏拉圖式敘述。今天，甚至非宗教的數理學家經常表達探索柏拉圖王國時的敬畏之感，認為他們不創造數學，而是發現它。保羅•戴維斯(Paul Davies)在其著作《上帝的思考》(The Mind of God)中走得更遠，強調了這種動機的雙向性：它不僅可以帶動數學家了解數學以便一睹心中之神，而且接近「宇宙的關鍵」的這一能力給予了我們生存的一些目的或意義。
事實上，假設數學結構及宇宙的物理本質和我們對它們的精神接觸是「上帝」的某種心靈、本質及身體的一部分，那麼對數學基礎及其適用性探討將有比以上描述的那些學說大得多的一個答案。這樣一個假設已在過去幾千年中各種各樣的宗教、文化和科學系統中發現。然而，讓哲學家或科學家全心全意地接受這個觀點不是件很自然的事，這樣做也許會鼓勵保全模糊面紗的神秘性，而不是揭開這個面紗。
Penrose的三位世界圖
羅傑•彭羅斯(Roger Penrose)用一個三位世界圖清晰地說明了這個奧秘。柏拉圖的、物理的和精神的世界是問題中的三個對象，他把它們勾勒為排成三角形的三隻球。一個錐體連接柏拉圖世界與物理世界：在最常見的形式下，該圖顯示錐體窄的那端穿透柏拉圖世界，而寬的那端則滲透到物理世界。這至少部分表明物理世界嵌入在至少一些柏拉圖世界當中。一個類似的錐體連接物理世界與精神世界，至少部分的精神世界嵌入在物理世界之中。最後，也是最神秘的，三角形以一個把精神世界連接到柏拉圖世界的錐體完成：柏拉圖世界至少部分地嵌入到精神世界。每個錐體和每個世界本身，仍是一個謎。
我們似乎已經陷入相當令人沮喪的僵局中，關於數學基礎的四個論點中沒有哪個可以毫不含糊地回答數學的可適用性問題。不過，我希望你讀完這篇文章研究後的感覺是：這是令人難以置信的好消息！梳理出應用數學為什麼存在這一大問題的細微之處，是未來的一個項目，這個項目於探討數學、物理宇宙及我們在這兩個有意義的系統中所處位置的本質方面，可能產生深刻的洞察。
作者：Phil Wilson
翻 譯: 丁玖，密執安州立大學博士，南密西西比大學數學教授
校 對: 湯濤，香港浸會大學數學講座教授
來源：善科文庫
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