文章編號：1004-2539(2019)01-0124-07
DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2019.01.025
引用格式：王毅，張哲，馬冀桐，等. 採摘機器人奇異位型分析[J]. 機械傳動，2019，43(1):124-130.
WANG Yi， ZHANG Zhe， MA Jitong，et al. Singularity analysis of harvesting robot[J].Journal of Mechanical Transmission，2019，43(1):124-130.
機械手臂的奇異位型主要有邊界奇異位型和內部奇異位型[1]。邊界奇異位型出現在機械手臂工作空間的邊界,只要機械手臂遠離工作空間的邊界即可以避免;內部奇異位型則是由於兩個或是兩個以上的關節軸線重合所造成的。當機械手臂處於奇異位型時,會導致機械手臂自由度缺失、靈活性降低、雅可比矩陣降秩等情況,使得末端執行器無法實現沿著某些方向的運動;同時,可能對末端執行器進行較小的位置調整時,也會造成機械手臂某些關節的運動速度趨於無窮大,使得機械手臂無法實現沿著預定的軌跡運動。採摘機器人在執行採摘動作的過程中,主要以機械手臂為主,而採摘任務的完成,需要保證機械手臂運動的可靠性和穩定性,所以,在作業過程中需要對奇異位型的規避。因此,奇異位型的分析對提高採摘機器人的作業性能具有主要意義。
奇異性是機械手臂的一個重要運動學特性[2]。國內外學者基於代數理論[3]、旋量理論[4]和線幾何理論[5]對其做了大量的研究。劉德滿等[6]首先對機器人奇異性進行了分析,並引進雅可比矩陣的奇異性魯棒逆在奇異點周圍提供連續的、可行的解。胡準慶等[7]對幾種不同類型的機器人採用不同的方法對其奇異位型進行了分析。李誠等[8]採用微分變換法求得裝校機器人的雅可比矩陣,並對其進行奇異性分析,得到該機器人的奇異情況。張新等[9]以反恐排爆機器人5自由度機械臂為研究對象,求得其雅可比矩陣,並對其進行奇異位型和工作空間的分析;BOHIGAS等[10]提出了一種基於數值計算的分析機構奇異位型的方法,採用其對平面連杆機構和並聯機構進行了奇異性的分析。
本研究主要針對課題組所搭建採摘機器人上所裝載的機械手臂,先採用D-H法對其進行運動學建模,求得正運動學方程;其次,基於現有理論構造其雅可比矩陣,然後求得其奇異位型的所有構型情況;最後,基於可操作度指標和最小奇異值指標,採用Robotics工具箱對求解的機械手臂奇異位型進行仿真分析。
1 機器人運動學1.1 運動建模本文主要以課題組自行研發的採摘機器人作為研究對象,其整體的平臺如圖1所示。對於奇異位型的分析則以其上所搭載的北京遨博智能科技有限公司生產的aubo_i5小型6自由度機械手臂為主。機械手臂由6個轉動關節組成,前3個關節主要用於確定腕關節參考點的位置,後3個關節主要用於調節末端的姿態。本節採用D-H參數,建立了該採摘機器人的坐標系圖,如圖2所示。其對應的D-H參數以及各關節的運動範圍見表1。
圖1 採摘機器人
圖2 採摘機器人運動參數和坐標系分布
表1 採摘機器人D-H參數表
其中,a2=0.408 m,a3=0.376 m,d1=0.098 5 m,d2=0.140 5 m,d4=-0.019 m,d5=0.102 5 m,d6=0.094 m。
根據上述結構參數,求解得柑橘採摘機器人各連杆的齊次變換矩陣為
1.2 正運動學求解正運動學求解即在柑橘採摘機器人運動學方程建立後,給定機器人各關節確定的運動參數值,求出末端執行器相對於採摘機器人基坐標系的位姿,其求解方式簡單。
將式(1)各連杆的齊次變換矩陣相乘,得柑橘採摘機器人末端執行器坐標系相對於機器人基坐標系的變換矩陣關係式為
式(2)為末端執行器位姿與關節變量θi(i=1,2,…,6)之間的函數關係式。其中,柑橘採摘機器人7個連杆齊次坐標變換矩陣的乘積為
其中,分別表示取值 1～6,本文中其他簡易表達式的含義依此類推。
1.3 正運動學仿真驗證柑橘採摘機器人正運動學仿真即給定機器人各關節值,得到機器人末端所到達的位姿。本節結合MATLABGUI界面編程和Robotics機器人工具箱進行柑橘採摘機器人的運動學仿真。
本文設計的正運動學仿真驗證界面如圖3所示,其主要包含關節角度輸入模塊、機器人狀態顯示模塊、末端執行器位姿輸出模塊,主要以位姿的齊次變換矩陣表示。其中,正運動學按鈕控制項相當於界面初始化開關,顯示機器人初始狀態圖與初始關節值。輸入模塊主要通過滑塊實現各關節角度值的輸入,並通過各關節滑塊後的編輯框控制項顯示當前滑塊對應的角度值,相應的機器人正運動學狀態顯示模塊顯示對應關節值的機器人狀態圖。圖3為輸入各關節角度值與相應機器人狀態顯示圖以及末端執行器相對於機器人基坐標系的4×4齊次變換矩陣。
圖3 正運動學仿真效果圖
為驗證文中正運動學模型正確性,首先,通過本文的模型計算了6個關節3組關節角度值下末端執行器的位姿齊次矩陣;然後,採用Robotics工具箱內部正運動學函數計算對應關節角度下的末端執行器相對於機器人基坐標系下的位姿齊次矩陣。兩種方式的求解結果如圖4所示。對比可知,兩者求解結果相等,說明本文建立的正運動學模型是正確的。
圖4 正運動學求解驗證
2 機器人奇異構型分析2.1 雅可比矩陣雅可比矩陣反映了機構的運動學與動力學的本質。對於它們的研究可以進一步分析得出機器人的靈活性能。雅可比矩陣求解過程如下所述[11]。
令機器人的各轉動軸以Z軸的單位矢量表示,即Z1、Z2、…、Zj,相鄰軸線之間公法線方向的單位矢量為X12、X23、…、X jk,相鄰公法線之間的偏距為d1、d2、…、d6,相鄰軸線之間的公法線長度為aij,關節轉角為θi,式(4)對雅可比矩陣的求解僅反映了關節全為轉動副的情況。
Tj表示固連在第j個杆件上的坐標系相對於世界坐標系的轉動變換矩陣,根據上一節建立的正運動學模型求解;θj表示第j關節轉動的角度。
2.2 機器人奇異位型分析柑橘採摘機器人在執行採摘任務的過程中,需要充分保證其運動的可靠性與穩定性。而機器人奇異位型的存在會導致機器人可操作自由度的降低,導致機器人在笛卡爾空間中無法沿著某個方向運動。而且當機器人接近奇異位型時,會導致機器人關節速度趨於無窮,由於實際機器人各關節無法提供相應的關節速度,使得機器人末端的運行軌跡偏移原始設定軌跡線。機器人的奇異性問題一般是在笛卡爾空間進行軌跡規劃時才會產生,在關節空間中直接採用受控量進行規劃,不會出現奇異性問題[12]。奇異性問題大致可以分為工作空間邊界的奇異位型、工作空間內部的奇異位型。
2.2.1 邊界奇異位型求解
機器人的本體結構限制了機器人各關節的運動範圍,當機器人處於運動範圍邊界時會產生邊界奇異位型,對於本文所採用的機器人,當θ1=±175°、θ2=±175°、θ3=±175°、θ4=±175°、θ5=±175°和θ6=±175°時,為機器人工作空間邊界的奇異位型。通過MATLAB機器人工具箱對機器人各奇異位型仿真,得機器人各關節奇異位型的三維仿真圖如圖5所示。
2.2.2 內部奇異位型求解
內部奇異位型的求解可以通過判斷機器人各關節組合所求得的雅可比矩陣行列式是否為0判斷。根據式(2)、式(4)求得雅可比矩陣與各關節之間的關係為
其中,的值與的值分別為
令雅可比矩陣的行列式為0,即
根據式(6)化簡得
其中,s5表示sinθ5;s3表示sinθ3;s2表示sinθ2;c1表示cosθ1;s2-3表示 sin(θ2-θ3);s2-3+4表示 sin(θ2-θ3+θ4)。式中的其他表示內容依此類推。
由式(7)可得機器人奇異位型的3種情況分別為
(1)當sinθ5=0時,機器人在關節運動範圍內有θ5=0,使得det(J)=0,此時雅可比矩陣不可逆,機器人處於奇異位型,機器人關節速度趨向於無窮大。
(2)當sinθ3=0時,機器人在關節運動範圍內存在θ3=0,此時det(J)=0,關節2與關節3的x軸線重合。從笛卡爾空間看,機器人失去1個自由度。機器人處於奇異位型,關節速度趨於無窮大。
(3)當816s2+752s2-3+205s2-3+4=0時,可知當θ2、θ3、θ4滿足式(10)時,可使當前構型下機器人的雅可比矩陣為0,將式(10)進一步化簡求解得
結合機器人各關節的運動範圍,通過MATLAB對θ2、θ3和θ4進行仿真,得機器人處於奇異位型時,3個關節在三維空間的分布關係圖以及其在各平面的投影圖,如圖6所示。
圖5 各關節邊界奇異位型
圖6 θ2、θ3、θ4組合的奇異位型
3 機器人奇異性仿真分析機器人的靈活性在機器人運動學中具有重要作用。條件數、可操作度和最小奇異值指標是比較常用的機器人靈活性評價指標。本節主要以可操作度和奇異值指標判定機器人的靈活性,進而驗證前面小節對機器人內部奇異性求解的正確性。
可操作度可以表示機器人的整體靈活性,YOSHIKAWA[13]對於可操作度w的定義為式(11),當機器人處於奇異位型時,雅可比矩陣降秩,可操作度w=0。
雅可比矩陣的最小奇異值反映了機器人末端運動最難的方向,KLEIN[14]將最小奇異值作為評價機器人靈活性的一種指標。雅可比矩陣奇異值分解如下
當機器人位置逐漸靠近奇異位型時,存在σmin→0,機器人在該方向運動靈活性降低。
上節分析了機器人內部奇異的幾種情況,現依據可操作度與最小奇異值對其進行仿真驗證分析。
(1)θ5=0時。其他關節選取固定值後,使得θ5在其運動範圍(-3.05≤θ5≤3.05)內變化,即q=(π/3,π/6,π/4,π/5,θ5,π/3)內變化,得機器人的可操作度、最小奇異值和雅可比矩陣的秩與關節5之間的變化關係如圖7所示。
圖7 關節5角度與可操作度、奇異值、雅可比矩陣秩的關係
(2)θ3=0時。其他關節選取固定值後,使得θ3在其運動範圍(-3.05≤θ5≤3.05)內變化,即q=(π/2,π/2,θ3,π/5,π/3,π/3),得機器人的可操作度、最小奇異值和雅可比矩陣的秩與關節3之間的變化關係如圖8所示。
圖8 關節3角度與可操作度、奇異值、雅可比矩陣秩的關係
(3)816s2+752s2-3+205s2-3+4=0時。其他關節選取固定值後,使得關節2、關節3和關節4在其運動範圍內變化,即q=(0,θ2,θ3,θ4,π/2,π/6),得機器人的可操作度與關節2、關節3和關節4之間的變化關係。圖9為當關節4的角度值分別取3.05 rad、0 rad和-3.05 rad時關節2與關節3和機器人可操作度之間的關係,圖中顏色越深則表示可操作度值越小。
根據式(8)～式(10)所得的奇異位型的3種情況,結合圖7和圖8可以看出,當關節3與關節5等於0時,可操作度等於0,此時其最小奇異值為0,雅可比矩陣在兩個關節等於0時出現了降秩的現象。當關節2、關節3和關節4之間存在式(10)這種關係時,結合圖5中3個關節角度的空間分布和其xOy面投影圖可以看出與圖9的截面圖形狀近似,只是在圖9中反映了機器人的所有奇異點,所以其包含了關節3的角度為0時的第二種奇異位型。為確保奇異解的合理性,此處隨機取3組滿足式(10)的關節值,並對這3組值的可操作度、最小奇異值和雅可比矩陣的秩進行了求解,如表2所示。從中可以看出都符合奇異位型時各評價標準的值。
圖9 關節2、3和4的角度與可操作度的關係
表2 第3種奇異位型的驗證
4 結論(1)採用D-H法建立採摘機器人機械手臂的運動學模型,得到機械手臂的正運動學解。在已知機械手臂個關節的角度值時,可求解採摘機器人末端相對於基坐標系的位置。
(2)求解得到機械手臂的雅可比矩陣,分析得到機械手臂處於奇異位型的所有情況,並運用Robotics工具箱根據可操作度指標和最小奇異值指標對求解的奇異位型情況進行了仿真分析,仿真結果驗證了所求解的奇異位型的正確性。通過分析求解得到本文所涉及的機械手臂內部奇異位型共有3種,分別為 θ3=0、θ5=0以及816s2+752s2-3+205s2-3+4=0時,此時機械手臂的可操作度與雅可比矩陣的最小奇異值均為0,出現自由度缺失、靈活度降低、雅可比矩陣降秩等情況。此分析結果為採摘機器人執行採摘任務時避開這些奇異位型提供了重要的數據。
[1]熊有倫.機器人技術基礎[M].武漢：華中理工大學出版社,1999：62-63.[2]梁喜鳳,王永維.番茄收穫機械手奇異性分析與處理[J].農業工程學報,2006,22(1)：85-88.[3]MERLET JP.A formal-numerical approach for robust in-workspace singularity detection[J].IEEE Transactions on Robotics,2007,23(3)：393-402.[4]呂永軍.六關節串聯機器人機構奇異位形研究[D].北京：中國科學院研究生院,2016：30-32.[5]PENNE R,SMET E,KLOSIEWICZ P.A short note on point singularities for robotmanipulators[J].Journal of Intelligent and Robotic Systems,2011,62(2)：205-216.[6]劉德滿,馬先,劉宗富.機器人操作器的奇異性魯棒逆[J].機器人,1991,13(2)：10-17.[7]胡準慶,房海容,彭俊斌,等.機器人奇異性分析[J].機器人技術與應用,2001(6)：32-35.[8]李誠,謝志江,倪衛,等.六自由度裝校機器人雅可比矩陣的建立及奇異性分析[J].中國機械工程,2012,23(10)：1165-1169.[9]張新,馬郡,馬汶鍇,等.排爆機器人機械臂奇異位形及工作空間分析[J].天津工業大學學報,2015(5)：37-42.[10]BOHIGASO,ZLATANOV D,ROS L,et al.A general method for the numerical computation ofmanipulator singularity sets[J].IEEE Transactions on Robotics,2014,30(2)：340-351.[11]郭希娟.機構性能指標理論與仿真[M].北京：科學出版社,2010：16-21.[12]楊慶華,王燕,高峰,等.基於擺線運動的黃瓜採摘機器人終端滑模軌跡跟蹤控制[J].農業工程學報,2009,25(5)：94-99.[13]YOSHIKAWA T.Manipulability of roboticmechanisms[J].International Journal of Robotics Research,1985,4(2)：3-9.[14]KLEIN C A,LAHO B E.Dexterity measures for the design and control of kinematically redundantmanipulators[J].International Journal of Robotics Research,1987,6(2)：72-83.Singularity Analysis of Harvesting Robot
Wang Yi1,2 Zhang Zhe1 Ma Jitong1 He Yu1 Xu Hongbin1,2
(1 College of Mechanical Engineering,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)
(2 College of Mechanical Engineering,Chongqing University,Chongqing 400044,China)
Abstract The singularity in the working space of harvesting robotic manipulator is analyzed.Firstly,the D-H parameters are used to establish the coordinate system of the harvesting robot manipulator,and then its positive equation of motion is obtained.Secondly,the Jacobian matrix is constructed by combining the positive equations of the manipulator,and then the Jacobian matrix is used to solve all the structures of the singular state of the manipulator,all singularities are obtained.Finally,by using the Robotics toolbox,the singularity of the manipulator is simulated and analyzed based on the flexibility index of maneuverability and the flexibility index of minimum singular value.The simulation results show that there are three kinds of internal singularities in the studied manipulator.At the same time,the correctness of the singularity of the manipulator is verified,which lays a foundation for the following research on the trajectory planning of the manipulator and the avoidance of the singularity point.
Key words Manipulator Singularity Jacobian matrix Flexibility
收稿日期：2018-04-06
收修改稿日期：2018-05-03
基金項目：重慶市科委重點產業共性關鍵技術創新專項(cstc2015zdcyztzx70003)
重慶市基礎科學與前沿技術研究一般項目(cstc2016jcyjA0444)重慶市基礎研究與前沿探索一般項目(cstc2018jcyAX0071)作者簡介：王毅(1981— ),男,河南鄭州人,副教授,碩士生導師,研究方向為智能農業機械。
通信作者：許洪斌(1967— ),男,湖北仙桃人,教授,博士生導師,研究方向為智能農業機械、機械裝備製造技術。
專家點評：
本文對採摘機器人機械手臂工作空間內的奇異位型進行了分析。建立了其運動學正解方程，並通過構造其Jacobian矩陣，求解機械手臂出現奇異狀態的所有構型情況，得到所有奇異點；進行仿真表明該機械手臂共有3種內部奇異情況，並驗證了機械手臂奇異位型求解的正確性。該論文有較強的理論研究價值，脈絡清晰，推導嚴謹。
查看更多內容，請點擊閱讀原文！