走過去是七步，走回來也是七步。
——伏契克
學講到現在，終於可以講點新東西了。老是講質點，煩死我了。終於可以講講剛體了。
道生一，一生二，二生三，三生萬物。如果說物理是道，那麼質點就是一，而剛體就是三，是所有力學的基礎。
首先講講自由度。什麼是自由度？簡單地說，力學裡的自由度就是描述物體空間狀態所需要的變量的數目。
以最簡單的質點問題為例。如果質點在一根這直線上運動，那麼它就只有一個自由度，與這條直線上某個特定點(參考點，或者原點)的相對距離x(可正可負)。這個位置隨時間的變化率，就是該質點的速度，速度隨時間的變化率，就是加速度。
如果這個質點掙脫了鎖鏈，跑到平面上運動，這時候它就有兩個自由度了(x,y)，同樣表徵了質點在平面上的位置，相應地也有速度和加速度。當然，這兩個自由度也可以用其他坐標系來表示，最常見的是極坐標系。從平面跑到三維空間，就是我們通常所說的質點有三個自由度了，相應的有速度和加速度，同樣也可以在柱坐標系、球坐標系或者其他坐標系裡表示出來。
位置x和速度描述了質點的所有運動(以後你們會碰到「相空間」的概念，它就是由這兩者構成的)。簡單地說，牛頓力學的基本精神就是，力決定了加速度，其他更高階的變化就不需要考慮了——不需要考慮加速度隨時間的變化，因為全都歸結到「力」了。
比一個質點多的東西就是兩個質點了。如果這兩個質點沒有任何關係，大家各過各的，那就是把質點問題算兩遍，沒有任何挑戰性。如果它們之間有聯繫，那麼最簡單的聯繫就是剛性聯繫了(中學物理力經常說的輕質剛性細杆)，也就是說，這兩個質點之間的距離保持不變。那麼他們就有5個自由度了：每人3個自由度，這是6個，再減去一個限制(距離保持不變)，所以是5個。
這時候可以引入「質心」的概念：這兩個質點和連接它們的輕質剛性細杆，構成了一個槓桿，槓桿的支點就是質心的位置，把質點選在質心，槓桿就有保持平衡。可以用另一種方法來描述這個雙質點系統：質心有3個自由度，輕質剛性細杆的取向有2個自由度，就像地球上經度和緯度這兩個自由度一樣。
比兩個質點更複雜的就是三個質點了。用輕質剛性細杆連接的三個質點，只有6個自由度：兩個質點是5個，增加了一個質點，多了3個自由度，但同時也多了兩個限制條件，所以再減去2，總共就是6個自由度。三個質點也有質心，就是這個三角形的重心(如果它們的質量各不相同的話，就要考慮加權)，也是這個「平面槓桿」的支點。
比三個質點更多的就是四個質點了。你還有沒有完？有完，有完，這就完了。多了一個質點，並不會多出來自由度，因為同時也增加了三個限制條件。所以，仍然是6個自由度。同理，對於剛體來說，不管是由多少個質點構成的，它也只有6個自由度——因為剛體中任意兩點之間的距離都是固定不變的。
補充一點，質心的概念並不限於剛體，它仍然是所有這些質點構成的「大槓桿」的支點。
剛體有6個自由度，剛體中任意挑選的三個點就完全確定了剛體的空間位置，這6個自由度及其隨時間的變化率就確定的剛體的狀態，同樣也是由牛頓定律決定的。
這6個自由度可以換個方式描述。質心有3個自由度，質心處自帶一個右手坐標系xyz，三個軸的方向也有3個自由度：隨便選個x軸，它有2個自由度；y軸必然位於和x軸向垂直的平面內，它的方向就只有1個自由度了；z軸也在這個平面內，而且和y軸平行，所以沒有新的自由度。
除掉質心以外的3個自由度還可以用所謂的歐拉角(θ,φ,ψ)來描述。歐拉角(θ,φ,ψ)描述了附著在剛體質心(其實可以是剛體上的任何一個位置)的固定坐標系xyz與某個特定參考系XYZ的相對取向。
把兩個右手坐標系xyz和XYZ的原點放在一起；xy和XY平面有一個交線(所謂的「節線」，Z×z決定其正方向N)；Z和z軸之間的夾角就是θ；X和N軸之間的夾角就是φ；N和x軸之間的夾角就是ψ。可以看到，θ的取值範圍是(0,π)，而φ和ψ的取值範圍都是(0,2π)。如果用個圖來說明，就很容易看明白了，但是我偷個懶，大家隨便找本《力學》看看就可以了(比如說朗道和慄弗席茲)。
好了，講完自由度，接著講剛體。
描述剛體的運動狀態，就是描述這6個自由度及其隨時間的變化率。由於牛頓第三定律(作用力等於反作用力，方向相反)，問題得到了很大的簡化。
首先是質心的運動。質心的3個自由度完全決定於外力(剛體內部的相互作用力完全抵消掉了)，可以用質點動力學進行完整的描述。這樣就只剩下3個自由度。換到質心坐標系，質心就是不動的原點，那麼剛體就只能繞著這個點轉動了。當然，除非全部外力之合力等於零，這個質心坐標系是非慣性系，需要考慮各種非慣性力的影響，但是，這些都是質點動力學已經解決了的問題。
現在考慮剛體的轉動。轉動總是相對於某個轉動軸的(在任何瞬時都是如此，但是下一個時刻，這個轉動軸就可能變了)，最簡單的轉動是定軸轉動，也就是說，轉動軸保持不變。轉動軸有2個自由度(轉動軸的方向)，所以，在定軸轉動中，剛體就只剩下1個自由度了：剛體繞著轉動軸轉動的角度θ。角度隨時間的變化就是角速度。
就像平動有動能一樣，轉動也有能量，這就是轉動能。平動有慣性，轉動也有慣性，簡單的類比可以知道，質點繞軸轉動的慣性就是mr²，其中r是質點到轉動軸的距離。對於剛體來說，轉動慣量就是：
其中ρdV就是某個小小區域的質量。
不行，我這樣寫下去就成了抄書了。抄書太煩人了，我還是爭取不用公式吧。想看書的人，直接找本書看就行了，沒必要看我寫的這玩意兒。
轉動慣量依賴於剛體的密度分布，也依賴於剛體轉動軸的位置。最簡單的位置就是轉動軸通過剛體的質心，此時的轉動慣量計算就是個簡單的微積分習題，常見的剛體有條形、長方形、圓盤、圓柱、長方體、球體、甚至還有橢球體，其實都很簡單的，自己去算算就行了。對於平板剛體(完全位於xy平面)，還有個簡單的公式(垂直軸定理)：
你算出來此時的剛體轉動慣量了，可是，如果轉動軸變了，剛體的轉動慣量也會改變，還得重新計算，真煩人。如果轉動軸仍然通過質心，只是轉動了個方向，那麼沒辦法，你基本上只能重新算了。一個簡單的例子：條形的轉動慣量依賴於轉動軸於條形的相對方向，而球體的轉動慣量不依賴於轉動軸的方向。如果新的轉動軸平行於通過質心的轉動軸，就有一個簡單的計算公式(平行軸定理)。
需要注意的是，只有當起初的轉動軸通過剛體質心的時候，才能應用平行軸定理。任意兩個轉動軸，即使它們是平行的，也不能從一個的轉動慣量直接得到另外一個的信息。如果有三個平行的轉動軸，知道了剛體相對於他們的轉動慣量，就可以剛體沿著平行於此三個轉動軸的任意轉動軸的轉動慣量，這是因為可以首先找到質心所在的平行軸。
原則上，你就可以算出剛體繞著任何軸的轉動慣量了。但是，還有比定軸轉動更複雜的轉動，比如說，定點轉動。這時候，只有一個點是固定不變的，所以有3個自由度。講起來比較煩了，隨便哪本書上都講得很清楚，大家認真看就可以了。記住這麼幾點就可以了：
質心的運動只依賴於外力的合力
剛體的轉動也可以表示為只依賴於外力的合力的形式：剛體的角動量的變化率，等於合外力作用於質心處、相對於參考點產生的力矩。
質心是非常特殊的，考慮它往往能簡化問題。
剛體的動力學規律有所謂的質心運動定理、動能定理和轉動定理。剛體作平面平行運動時，相對於任何轉軸的角速度都是相同的；總能找到一個瞬時不變的點(瞬心)，還有個所謂的瞬時軸定理。
上面討論角動量和轉動慣量的時候，採用的都是一些特例。真實的情況還會更複雜，比如說，角速度可以指向任意方向的，而定點轉動的角動量應該用下式來計算(這還不是最複雜的情況呢)。
此時，角動量的方向和角速度的方向沒有理由是一致的，轉動慣量會以矩陣的形式表示，也有個高大上的名字叫張量(大家隨便聽聽就是了)。我們通常也就是考慮有對稱軸、對稱面的特殊剛體，用這些特例來培養自己的物理圖像和物理直覺，更複雜的問題，只能藉助於一些微擾的方法，或者求助於計算機了——當然你也要對結果保持適當的警惕，用自己的簡單模型來檢驗一下。
陀螺是最常見的剛體轉動的例子，也是任何一本力學教材都要詳細講的東西，我就不獻醜了。地球也是個大陀螺，有自轉，因為它不是完美的球體，表面還有水的流動，太陽和月亮對地球有力矩的作用，所以地球還會有章動、有進動。地球自轉的周期是1年；章動就是地球自轉軸的微小變化，其周期大約是19年，與沙羅周期的18年很接近；地球進動的周期大約是2.6萬年，這個太長了，平時很難注意到。
關於剛體，也就講這麼多了，再多就太煩人了，也超出了我們大學普通物理力學的範疇了。至於說剛體的平衡，不過就是合力為零以及合力矩為零，簡單得很。剛體不過是質點又往前邁了一步，才6個自由度，我們接下來處理的流體力學、彈性力學，每個都有無窮多個自由度，以前的學生不也都挺下來了嗎？一句話，要堅持!
君當作磐石，妾當作蒲葦。蒲葦紉如絲，磐石無轉移。
PS：
說到地球的進動，其實，我們的先人是注意到這種現象的。百度百科詞條「虞喜」說：
虞喜(281年—356年)，字仲寧，餘姚人。博學好古，尤喜天文歷算。郡守諸葛恢巡視餘姚，任為功曹。晉永嘉元年(307年)徵為博士；鹹和末舉為賢良；鹹康初，內史以其「博聞強識，鑽堅研微」復薦為博士，皆不就。世為豪族，精天文、經學，兼擅讖緯諸學。鹹和五年(330年)，根據冬至日恆星的中天觀測，發現歲差，認為太陽從第一年冬至到第二年冬至向西移過原先位置，推算出每50年退一度(現代測定為71年8個月)。《宋史·律曆志》載：「虞喜雲，堯時冬至日短星昴，今二千七百餘年，乃東壁中，則知每歲漸差之所至。」
這還不是最奇特的，最奇特的是我在網上看到的某個解釋。網客「泉畔人家」認為，如果虞喜關於「堯時冬至日短星昴」的說法是正確的，那麼倒推回去的結論就是：堯帝的時代就不是公元前兩千多年，而是公元前四千年!也就是6000年前!
「泉畔人家」很久以前就提出這個說法，大概是在cchere網站裡提出來的。最近他跑到知乎去了，他的論證在這裡。我覺得很有道理：虞喜的數據是虞喜自己查閱古籍得到的；地球的進動周期是確定的；虞喜得到的歲差50年1度的結論，而不是70年一度的天文觀測結果，那是因為他堯帝到他那個時代的時間是2700年。
當然，也還有另外兩種可能性：古籍記錄的不是堯帝時的天象，而是抄錄更古老的典籍，記錄的是更早時間的天象；再就是星座的名稱變了，但是，中國古代對天文星象的觀測記錄是非常嚴肅的事情，這種錯誤發生的可能性並不大吧。
所以說，讀書很簡單，但是從書裡讀出自己的東西，才需要真本事。「泉畔人家」好像也沒有什麼高深的學歷，也常常被當作「民科」看待，但是我覺得，他的看法還真是非常有道理的。佩服。
哦，對了，這位「泉畔人家」還有一個發現，他說，漢朝軍隊和羅馬軍隊在兩千年前交過手，漢軍大勝，這就是著名的卡萊戰役。他的推理在這裡(更多細節在cchere，也是很多年以前的事情了)這個說法看得我將信將疑，但是不得不承認，這位老兄看書不是白看的，善於提問題、善於找證據，推理也很縝密，真是了不起的人才。
其實，讀書真的沒有什麼了不起的，拿個博士壯士烈士的學位，也稀鬆平常。能夠發現問題、解決問題，見前人所未見，想前人所未想，那才是真本事！
高手在民間!
原文連結：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1017211.html
本文轉自科學網姬揚的博客，作者姬揚，中國科學院半導體研究所，研究員。封面圖片來自百度經驗。
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